钦定四库全书
　九章算术卷六　　　　　晋

　刘　徽　注
　　　　　　　　　　　　唐　李淳风　

注释
均输以御远近劳费
今有均输粟甲县一万户行道八日乙县九千五百户
行道十日丙县一万三千三百五十户行道十三日丁
县一万二千二百户行道二十日各到输所凡四县赋
当输二十五万斛用车一万乘欲以道里远近户数多

少衰出之问粟车各几何答曰甲县粟八万三千一百
斛车三千三百二十四乘乙县粟六万三千一百七十
五斛车二千五百二十七乘丙县粟六万三千一百七
十五斛车二千五百二十七乘丁县粟四万五百五十
斛车一千六百二十二乘
术曰令县户数各如其本行道日数而一以为衰
　按此均输犹均运也令户率出车以行道日数为均
　发粟为输据甲行道八日因使八户其出一车乙行

　道十日因使十户共出一车计其在道则皆户一日
　出一车(案原本作出车/脱一字今补)故可为均平之率也
甲衰一百二十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并
为法以赋粟车数乘未并者各自为实
　衰分科率
实如法得一(案原本作得一车亦/后人妄加车字今删)
　各置所当出车以其行道日数乘之如户数而一得
　率户用车二日四十七分日之三十一故谓之均求

　此户以率当各计车之钱分也(案此二句舛误当云/求此率以户当各计)
　(车之衰/分也)
　淳风等按县户有多少之差行道有远近之异欲其
　均等故各令行道日数约户为衰(案原本脱/道字令补)行道多
　者少其户行道少者多其户故各令约户为衰以八
　日约除甲县得一百二十五乙丙各九十五丁六十
　一于今有术副并为所有率未并者各为所求率以
　赋粟车数为所有数而今有之各得车数一旬除乙

　十三除丙各得九十五二旬除丁得六十一也(案淳/风等)
　(至此原本讹在前接故可为均平之/率也下于术意前后失次今订正)
有分者上下辈之
　辈配也车牛人之数不可分裂推少就多均赋之宜
　今按甲分既少宜从于乙满法除之有馀从丙丁分
　又少亦宜就丙除之适尽加乙丙各一上下辈益以
　少从多也
以二十五斛乘车数即粟数

今有均输卒甲县一千二百人薄塞乙县一千五百五
十人行道一日丙县一千二百八十人行道二日丁县
九百九十人行道三日戊县一千七百五十人行道五
日凡五县赋输卒一月一千二百人欲以远近户率多
少衰出之问县各几何答曰甲县二百二十九人乙县
二百八十六人丙县二百二十八人丁县一百七十一
人戊县二百八十六人
术曰令县卒各如其居所及行道日数而一以为衰

　按此亦以日数为均居所为输甲无行道日但以居
　所三十日为率言欲为均平之率者当使甲三十人
　而出一人出一人者计役则皆一人一日是以可为
　均平之率
甲衰四乙衰五丙衰四丁衰三戊衰五副并为法以人
数乘未并者各自为实实如法而一
　各置所当出人数以其居所及行道日数乘之如县
　人数而一(案此二十四字原本又重见于/后接故存之也下今删彼存此)得户率人

　役五日七分日之五(案此十二字原本接注文重见/者之下今据徽说前后体例订)
　(正/)
　淳风等按为衰于今有术副并为所有率未并者各
　为所求率以赋卒人数为所有数此术以别考则意
　同以广异闻故存之也(案此条原本讹入上注接如/县人数而一之下脱淳风等)
　(按四字今据淳风等所释前后体例订正又为衰二/字上有脱文当云各令居所及行道日数约县卒为)
　(衰/)
有分者上下辈之

　辈配也今按丁分最少宜就戊除不从乙者丁近戊
　故也满法除之有馀从乙丙分又少亦就乙除有馀
　从甲除之适尽从甲丙二分其数正等二者于乙远
　近皆同不以甲从乙者方以下从上也
今有均赋粟甲县二万五百二十户粟一斛二十钱自
输其县乙县一万二千三百一十二户粟一斛一十钱
至输所二百里丙县七千一百八十二户粟一斛一十
二钱至输所一百五十里丁县一万三千三百三十八

户粟一斛一十七钱至输所二百五十里戊县五千一
百三十户粟一斛一十三钱至输所一百五十里凡五
县赋输粟一万斛一车载二十五斛与僦一里一钱欲
以县户输粟令费劳等问县各粟几何答曰甲县三千
五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七
乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千
二百六十丙县一千三百八十八斛二千八百七十三
分斛之二千二百七十六丁县一千七百一十九斛二

千八百七十三分斛之一千三百一十三戊县九百三
十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三
术曰以一里僦价乘至输所里
　此以出钱为均也问者曰一车载二十五斛与僦一
　里一钱一钱即一里僦价也以乘里数者欲知僦一　车到输所所用钱也甲自输其县则无取僦价也
以一车二十五斛除之
　欲知僦一斛所用钱

加一斛粟价(案原本一讹作以注同今/据淳风等所释并改正)则致一斛之费
　加一斛之价于一斛僦直即凡馀粟取僦钱也甲一
　斛之费二十乙丙各十八丁二十七戊十九也
各以约其户数为衰
　言使甲二十户共出一斛乙丙十八户共出一斛计
　其所费则皆户一钱故可为均赋之率也
甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九
丁衰四百九十四戊衰二百七十副并为法所赋粟乘

未并者各自为实实如法得一
　各置所当出粟以其一斛之费乘之如户数而一得
　率户出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八
　十一
　淳风等按此以出钱为均问者曰一车载二十五斛
　与僦一里一钱一钱即一里僦价也(案原本脱价字/今据注文补入)
　以乘里数者(案原本脱数字/今据注文补入)欲知僦一车到输所用
　钱甲自输其县则无取僦之价以一车二十五斛除

　之者欲知僦一斛所用钱加一斛之价于一斛僦直
　即凡馀粟取僦钱甲一斛之费二十乙丙各十八丁
　二十七戊一十九各以约其户为衰甲衰一千二十
　六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九
　十四戊衰二百七十言使甲二十户共出一斛乙丙
　十八户共出一斛计其所费则皆户一钱故可为均
　赋之率也(案率字下原本/衍计字今删)于今有术副并为所有率
　未并者各为所求率赋粟一万斛为所有数此今有

　衰分之义也(案此条原本误连上刘徽注脱淳风等/三字考其文义多与徽所注重复应是)
　(淳风等更举注文以总解术/意书内此髅甚多今改正)计经赋之率既有户算
　之率亦有远近贵贱之率此二率者各自相与通功
　则甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之费谓之
　钱率钱率约户率者则钱为母户为子子不齐令母
　互乘为齐则衰也若其不然以一斛之费约户数取
　衰并有分当通分内子约之于算甚繁此一章皆相
　与通功共率略相依似以上二率下一率亦可放此

　从其简易而已又以分言之使甲一户出二十分斛
　之一乙一户出十八分斛之一各以户数乘之亦可
　得一县凡所当输俱为衰也乘之者乘其子母报除
　之以此观之则以一斛之费约户数者其意不异矣
　然则可置一斛之费而反衰之约户以乘户率为衰
　也合分注曰母除为率率乘子为齐反衰汪曰先同
　其母各以分母约其子为反衰以施其率为算既约
　且不妨处下也(案计经赋之率至此原本讹入前节/注文故可为均赋之率也下文多舛)

　(误不可通据辞内引合分注及反衰/注乃淳风等推论术意无疑今改正)
今有均赋粟甲县四万二千算粟一斛二十佣价一日
一钱自输其县乙县三万四千二百七十二算粟一斛
一十八佣价一日一十钱到输所七十里丙县一万九
千三百二十八算粟一斛一十六佣价一日五钱到输
所一百四十里丁县一万七千七百算粟一斛一十四
佣价一日五钱到输所一百七十五里戊县二万三千
四十算粟一斛一十二佣价一日五钱到输所二百一

十里己县一万九千一百三十六算粟一斛一十佣价
一日五钱到输所二百八十里凡六县赋粟六万斛皆
输甲县六人共车车载二十五斛重车日行五十里空
车日行七十里载输之间各一日粟有贵贱佣各别价
以算出钱令费劳等问县各粟几何答曰甲县一万八
千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九乙县一
万八千二十七斛一百三十三分斛之九丙县七千二
百一十八斛一百三十三分斛之六丁县六千七百六

十六斛一百三十三分斛之一百二十二戊县九千二
十二斛一百三十三分斛之七十四己县七千二百一
十八斛一百三十三分斛之六
术曰以车程行空重相承为法并空重以乘道里各自
为实实如法得一(案原本作得一日亦/后人妄加日字今删)
　按此术重往空还一输再行道也置空行一里用七
　十分日之一重行一里用五十分日之一齐而同之
　空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定

　言之者一百七十五里之路往返用六日也故并空
　重者齐其子也空重相乘者同其母也于今有术至
　输所里为所有数六为所求率齐一百七十五为所
　有率而今有之即各得输所用日也
加载输各一日
　欲得几日也(案原本讹作故/凡日也今改正)
而以六人乘之
　欲知致一车用人也

又以佣价乘之
　欲知致车人佣直几钱
以二十五斛除之
　欲知致一斛之佣直也
加一斛粟价即致一斛之费
　加一斛之价于致一斛之佣直(案原本价讹作费/于讹作则今改正)即
　凡输一斛馀粟取佣所用钱
各以约其算数为衰

　今按甲衰四十二乙衰二十四丙衰十六丁衰十五
　戊衰二十己衰十六于今有术副并为所有率未并
　者各自为所求率所赋粟为所有数此今有衰分之
　义也
副并为法以所赋粟乘未并者各自为实实如法得一
(案原本作得一斛亦/后人妄加斛字今删)
　各置所当出粟以其一斛之费乘之如算数而一得
　率算出九钱一百三十三分钱之三又载输之间各

　一日者即二日也
今有粟七斗三人分舂之一人为粝米一人为粺米一
人为糳米令米数等问取粟为米各几何答曰粝米取
粟二斗一百二十一分斗之一十粺米取粟二斗一百
二十一分斗之三十八糳米取粟二斗一百二十一分
斗之七十三为米各一斗六百五分斗之一百五十一
术曰列置粝米三十粺米二十七糳米二十四而反衰
之

　此先约三率粝为十粺为九糳为八欲令米等者其
　取粟粝率十分之一粺率九分之一糳率八分之一
　当齐其子故曰反衰也
　淳风等按米有精粗之异有多少之差据率粺糳少
　而粝多用粟则粺糳多而粝少米若依本率之分粟
　当倍率故今反衰之使精取多而粗得少
副并为法以七斗乘未并者各自为取粟实实如法得
一

　于今有术副并为所有率未并者各为所求率粟七
　斗为所有数而今有之故各得取粟也
若求米等者以本率各乘定所取粟为实以粟率五十
为法实如法得一(案原本作得一斗亦/后加妄加斗字今删)
　若径求为米等数者置粝米三用粟五粺米二十七
　用粟五十糳米十二用粟二十五齐其粟同其米并
　齐为法以七斗乘同为实所得即为米斗数
今有人当禀粟二斛仓无粟欲与米一菽二以当所禀

粟问各几何答曰米五斗一升七分升之三菽一斛二
升七分升之六
术曰置米一菽二求为粟之数并之得三九分之八(案/九)
(分原本讹作分/九今据注改正)以为法亦置米一菽二而以粟二斛乘
之各自为实实如法得一(案原本作得一斛亦/后人妄加斛字今删)
　淳风等按置粟率五乘米一米率三除之得一三分
　之二即如米一之粟也粟率十以乘菽二菽率九除
　之得二九分之二即是菽二之粟也并全得三齐子

　并之得二十四同母得二十七约之得九分之八故
　云并之得三九分之八米一菽二当粟三九分之八
　此其粟率也于今有术米一菽二皆为所求率当粟
　三九分之八为所有率粟二斛为所有数凡言率者
　当相与通之则为米九菽十八当粟三十五也亦有
　置米一菽二求其为粟之率以为列衰副并为法以
　粟乘列衰为实所得即米一菽二所求粟也以米菽
　本率而今有之即合所问

今有取佣负盐二斛行一百里与钱四十今负盐一斛
七斗三升少半升行八十里问与钱几何答曰二十七
钱一十五分钱之一十一
术曰置盐二斛升数以一百里乘之为法
　按此术以负盐二斛升数乘所行一百里得二万里
　是为负盐一升行二万里得钱四十于今有术为所
　有率升数乘所行里为法于今有术为所有数也
以四十钱乘今负盐升数又以八十里乘之为实实如

法得一(案原本作得一钱亦/后人妄加钱字今删)
　以今负盐升数乘所行里今负盐一升凡所行里也
　于今有术以所有四十钱为所求率也衰分章贷人
　千钱与此同(案此条原本讹作正文/今据前后体例改为注)
今有负笼重一石一十七斤行七十六步五十返今负
笼重一石行百步问返几何答曰五十七返二千六百
三分返之一千六百二十九
术曰以故所行步数乘故笼重斤数为法

　此法谓负一斤一返所行之积步也
今笼重斤数乘今步又以返数乘之为实实如法得一
(案原本作得一返亦/后人妄加返字今删)
　按此法负一斤一返所行之积步此实者一斤一日
　所行之积步故以一返之课除终日之程即是返数
　也
　淳风等按此术所行步多者得返少所行步少者得
　返多然则所行者今返率也故令所得返乘今返之

　率为实而以故返之率为法今有术也按此负笼又
　有轻重于是为术者因令重者得返少轻者得返多
　故又因其率以乘法实者重今有之义也然此意非
　也按此笼虽轻而行有限笼过重则人力遗力有遗
　而术无穷人行有限而笼轻重不等使其有限之力
　随彼无穷之变故知此术率乖理也若故所行有空
　行返数设以问者当因其所负以为返率则今返之
　数可得而知也假令空行一日六十里负重一斛行

　四十里减重一斗进二里半负重三斗以下与空行
　同今负笼重六斗往还行一百步问返几何答曰一
　百五十返术曰置重行率加十里以里法通之为实
　以一返之步为法实如法而一即得也
今有程传委输空车日行七十里重车日行五十里今
载太仓粟输上林五十三返问太仓去上林几何答曰
四十八里一十八分里之一十一
术曰并空重里数以三返乘之为法令空重相乘又以

五日乘之为实实如法得一(案原本作淂一里亦/后人妄加里字今删)
　此亦如上术率一百七十五里之路往返用六日也
　于今有术则五日为所有数一百七十五里为所求
　率六日为所有率以此所得则三返之路今求一返
　当以三约之因令乘法而并除也为术亦可各置空
　重行一里用日之率以为列衰副并为法以五日乘
　列衰为实实如法所得即各空重行日数也各以一
　日所行以乘为凡日所行三返约之为上林去太仓

　之数按此术重往空还一输再还道置空行一里七
　十分日之一重行一里用五十分日之一齐而同之
　空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定
　言之者一百七十五里之路往返用六日故并空重
　者并齐也空重相乘者同其母也于今有术五日为
　所有数一百七十五为所求率六为所有率以此所
　得则三返之路今求一返者当以三约之故令乘法
　而并除亦当约之也(案自按术重往空还以下应/是李淳风等所释讹为刘注)

今有络丝一斤为练丝一十二两练丝一斤为青丝一
斤一十二铢今有青丝一斤问本络丝几何答曰一斤
四两一十六铢三十三分铢之一十六
术曰以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法以青
丝一斤铢数乘练丝一斤两数又以络丝一斤乘之为
实(案原本脱/之字今补)实如法得一(案原本作得一斤亦/后人妄加斤字今删)
　按练丝一斤为青丝一斤十二铢此练率三百八十
　四青率三百九十六也又络丝一斤为练丝十二两

　此络率十六练率十二也置今有青丝一斤以练率
　三百八十四乘之为实实如青丝率三百九十六而
　一所得青丝一斤练丝之数也又以络率十六乘之
　所得为实以练率十二为法所得即练丝用络丝之
　数也是为重今有也虽各有率不问中间故令后实
　乘前实后法乘前法而并除也故以练丝两数为实　青丝铢数为法一曰又置络丝一斤两数与练丝十
　二两约之络得四练得三此其相与之率又置练丝

　一斤铢数(案原本脱/数字今补)与青丝一斤一十二铢约之练
　得三十二青得三十三亦其相与之率齐其青丝络
　丝同其二练络得一百二十八青得九十九练得九
　十六即三率悉通矣今有练丝一斤为所有数络丝
　一百二十八为所求率青丝九十九为所有率为率
　之意犹此但不先约诸率耳凡率错互不通者皆积
　齐同用之放此虽四五转不异也言同其二练者以
　明三率之相与通耳于术无以异也又一术今有青

　丝一斤铢数乘练丝一斤两数为实以青丝一斤一
　十二铢为法所得即用练丝两数以络丝一斤乘所
　得为实以练丝十二两为法所得即用络丝斤数也
今有恶粟二十斗舂之得粝米九斗今欲求粺米一十
斗问恶粟几何答曰二十四斗六升八十一分升之七
十四
术曰置粝米九斗以九乘之为法亦置粺米十斗以十
乘之又以恶粟二十斗乘之为实实如法得一(案原本/作得一)

(斗亦后人妄/加斗字今删)
　按此术置今有求粺米十斗以粝米率十乘之如粝
　率九而一即粝亦化为恶粟矣此亦重今有之义为
　术之意犹络丝也虽各有率不问中间故令后实乘
　前实后法乘前法而并除之也
今有善行者行一百步不善行者行六十步今不善行
者先行一百步善行者追之问几何步及之答曰二百
五十步

术曰置善行者一百步减不善行者六十步馀四十步
以为法以善行者之一百步乘不善行者先行一百步
为实实如法得一(案原本作得一步亦/后人妄加步字今删)
　按此术以六十步减一百步馀四十步即不善行者
　先行率也善行者行一百步追及率约之追及率得
　五先行率得二于今有术(案原本脱/有字今补)不善行者先行
　一百步为所有数五为所求率二为所有率而今有
　之得追及步也

今有不善行者先行一十里善行者追之一百里先至
不善行者二十里问善行者几何里及之答曰三十三
里少半里
术曰置不善行者先行一十里以善行者先至二十里
增之以为法以不善行者先行一十里乘善行者一百
里为实实如法得一(案原本作得一里亦/后人妄加里字今删)
　按此术不善行者既先行一十里后不及二十里并
　之得三十里也谓之先行率善行者一百里为追及

　率约之先行率得三三为所有率而今有之即得也
　其意如上术也
今有免先走一百步犬追之二百五十步不及三十步
而止问犬不止复行几何步及之答曰一百七步七分
步之一
术曰置免先走一百步以犬走不及三十步减之馀为
法以不及三十步乘犬追步数为实实如法得一(案原/本作)
(得一步亦后人/妄加步字今删)

　按此术以不及三十步减先走一百步馀七十步为
　兔先走率犬行二百五十步为追及率约之先走率
　得七追及率得二十五于今有术不及三十步为所
　有数二十五为所求率七为所有率而今有之即得
　也今有人持金十二斤出关关税之十分而取一今关取
金二斤价钱五千问金一斤值钱几何答曰六千二百
五十

术曰以一十乘二斤以十二斤减之馀为法以一十乘
五十为实实如法得一(案原本作得一钱亦/后人妄加钱字今删)
　按此术置十二斤以一乘之十二一得一斤五分斤
　之一即所当税者也减二斤馀即关取盈金以盈除
　所偿钱即金值也(案值原本讹/作实今改正)今术既以十二斤为
　所税则是以十为母故以十乘二斤及所偿钱通其
　率于今有术五千钱为所有数十为所求率八为所
　有率而今有之即得也

今有客马日行三百里客去忘持衣日已三分之一主
人乃觉持衣追及与之而还至家视日四分之三问主
人马不休日行几何答曰七百八十里
术曰置四分日之三除三分日之一
　按此术置四分日之三除三分日之一者除即减也
　(案即原本讹/作其今改正)减之馀有十二分之五即是主人追客
　还用日率也
半其馀以为法

　去其还存其往率之者子不可半故倍母二十四分
　之五是为主人与客均行用日之率也
副置法增三分日之一
　法二十四分之五者主人往追用日之分也三分之
　一者客去主人未觉之前独行用日之分也并连此
　数得二十四分日之十三则主人追及前用日之分
　也是为客行主人追及用日率也然则主人用日率
　者客马行率也客用日率者主人马行率也母同则

　子齐是为客马行率五主人马行率十三于今有术
　三百里为所有数十三为所求率五为所有率而今
　有之即得也
以三百里乘之为实实如法得主人马一日行
　欲知主人追客所行里者以三百里乘主人均行日
　分子十三以母二十四而一得一百六十二里半以
　此乘主人均行日分母二十四如客马与主人均行
　用日分子五而一亦得主人马一日行七百八十里

　也
今有金箠长五尺斩本一尺重四斤斩末一尺重二斤
问次一尺各重几何答曰末一尺重二斤次一尺重二
斤八两次一尺重三斤次一尺重三斤八两次一尺重
四斤
术曰令末重减本重馀即差率也又置本重以四间乘
之为下第一衰副置以差率减之每尺各自为衰
　按此术五尺有四间者有四差也今本末相减馀即

　四差之凡数也以四约之即得每尺之差以差数减
　本重馀即次尺之重也为术所置如是而已今此率
　以四为母故令母乘本为衰通其率也亦可置末重
　以四间乘之为上第一衰以差重率加之为次下衰
　也
副置下第一衰以为法以本重四斤遍乘列衰各自为
实实如法得一(案原本作得一斤亦/后人妄加斤字今删)
　以下第一衰为法以本重乘其分母之数而又反此

　率乘本重为实一乘一除势无损益故惟本存焉众
　衰相推为率则其馀可知也亦可副置末衰为法而
　以末重二斤乘列衰为实此虽迂回然是其旧故就
　新而言之也
今有五人分五钱令上二人所得与下三人等问各得
几何答曰甲得一钱六分钱之二乙得一钱六分钱之
一丙得一钱丁得六分钱之五戊得六分钱之四
术曰置钱锥行衰

　按此术锥行者谓如立锥初一次二次三次四次五
　各均为一列者也
并上二人为九并下三人为六六少于九三
　数不得等但以五四三二一为率也
以三均加焉副并为法以所分钱乘未并者各自为实
实如法得一(案原本作得一钱注内删/同亦后人妄加钱字今)
　此问者令上二人与下三人等上下部差一人其差
　三均加上部则得二三均加下部则得三三下部犹

　差一人差得一以通于本率即上下部等也于今有
　术副并为所有率未并者各为所求率五钱为所有
　数而今有之即得等耳假令七人分七钱欲令上二
　人与下五人等则上下部差三人并上部为十三下
　部为十五下多上少下不足减上当以上下部列差
　而后均减乃合所问耳此可仿下术令上二人分二
　钱半为上率令下二人分二钱半为下率上下二率
　以少减多馀为实置二人三人各半之减五人馀为

　法实如法得一即衰相去也下衰率六分之五者丁
　所得钱数也今有竹九节下三节容四升上四节容三升问中间二
节欲均容各多少答曰下初一升六十六分升之二十
九次一升六十六分升之二十二次一升六十六分升
之一十五次一升六十六分升之八次一升六十六分
升之一次六十六分升之六十次六十六分升之五十
三次六十六分升之四十六次六十六分升之三十九

术曰以下三节分四升为下率以上四节分三升为上
率
　此二率者各其平率也
上下率以少减多馀为实
　按此上下节各分所容为率者各其平率上下以少
　减多者馀为中间五节半之凡差故以为实也
置四节三节各半之以减九节馀为法实如法得一(案/原)
(本作得一升亦后/人妄加升字今删)即衰相去也

　按此术上下节所容已定之节中间相去节数也实
　者中间五节半之凡差也故实如法而一则每节之
　差也
下率一升少半升者下第二节容也
　一升少半升者下三节通分四升之平率平率即为
　中分节之容也
今有凫起南海七日至北海雁起北海九日至南海今
凫雁俱起问何日相逢答曰三日十六分日之十五

术曰并日数为法日数相乘为实实如法得一(案原本/作得一)
(日亦后人妄/加日字今删)
　按此术置凫七日一至雁九日一至齐其至同其日
　定六十三日凫九至雁七至令凫雁俱起而问相逢
　者是为共至并齐以除同即得相逢日故并日数为
　法者并齐之意日数相乘为实者犹以同为实也一
　曰凫飞日行七分至之一雁飞日行九分至之一齐
　而同之凫飞定日行六十三分至之九雁飞定日行

　六十三分至之七是为南北海相去六十三分凫日
　行九分雁日行七分也并凫雁一日所行以除南北
　相去而得相逢日也
今有甲发长安五日至齐乙发齐七日至长安今乙发
已先二日甲乃发长安问几何日相逢答曰二日十二
分日之一
术曰并五日七日以为法
　按此术并五日七日为法者犹并齐为法置甲五日

　一至乙七日一至齐而同之定三十五日甲七至乙
　五至并之为十二至者用三十五日也谓甲乙与发
　之率耳然则日化为至当日除故以为法也
以乙先发二日减七日
　减七日者言甲乙俱发今以发为始发之端于本道
　里则馀分也
馀以乘甲日数为实
　七者长安去齐之率也五者后发相去之率也今问

　后发故舍七用五以乘甲五日为二十五日言甲七
　至乙五至更相去用此二十五日也
实如法得一(案原本作得一日亦/后人妄加日字今删)
　一日甲行五分至之一乙行七分至之一齐而同之
　甲定日行三十五分至之七乙定日行三十五分至
　之五是为齐去长安三十五分甲日行七分乙日行
　五分也今乙先行发二日已行十分馀相去二十五
　分故减乙二日馀令相乘为二十五分

今有一人一日为牝瓦三十八枚一人一日为牡瓦七
十六枚今令一人一日作瓦牝牡相半问成瓦几何答
曰二十五枚少半枚
术曰并牝牡为法牝牡相乘为实实如法得一(案原本/作得一)
(枚亦后人妄/加枚字今删)
　此意亦与凫雁同术牝牡瓦相并犹如凫雁日飞相
　并也按此术并牝牡为法者并齐之意牝牡相乘为
　实者犹以同为实也故实如法即得也

今有一人一日矫矢五十一人一日羽矢三十一人一
日筈矢十五今令一人一日自矫羽筈问成矢几何答
曰八矢少半矢
术曰矫矢五十用徒一人羽矢五十用徒一人大半人
筈矢五十用徒三人少半人并之得六人以为法以五
十矢为实实如法得一(案原本作得一矢亦/后人妄加矢字今删)
　按此术言成矢五十用徒六人一日工也此同功共
　作犹凫雁共至之类亦以同为实并齐为法可令矢

　互乘一人为齐矢相乘为同今先令同于五十矢矢
　同则徒齐其归一也以此术为凫雁者当雁飞九日
　而一至凫飞九日而一至七分至之二并之得二至
　七分至之二以为法以九日为实实如法而一得一　人日矫矢之数也
今有假田初假之岁三亩一钱明年四亩一钱后年五
亩一钱凡三岁得一百问田几何答曰一顷二十七亩
四十七分亩之三十一

术曰置亩数及钱数令亩数互乘钱数并以为法亩数
相乘又以百钱乘之为实实如法得一(案原本作得一/亩亦后人妄加)
(亩字/今删)
　按此术令亩互乘钱者齐其钱亩数相乘者同其亩
　同于六十则初假之岁得钱二十明年得钱十五后
　年得钱十二也凡三岁得钱一百为所有数同亩为
　所求率四十七钱为所有率今有之即得也齐其钱
　同其亩亦如凫雁术也于今有术百钱为所有数同

　亩为所求率并齐为所有率
　淳风等按假田六十亩初岁得钱二十明年得钱十
　五后年得钱十二并之得钱四十七是为得田六十
　亩三岁所治于今有术百钱为所有数六十亩为所
　求率四十七为所有率而今有之即合问也
今有程耕一人一日发七亩一人一日耕三亩一人一
日耰种五亩今令一人一日自发耕耰种之问治田几
何答曰一亩一百一十四步七十一分步之六十六

术曰置发耕耰亩数令互乘人数并以为法亩数相乘
为实实如法得一(案原本作得一亩亦/后人妄加亩字今删)
　此犹雁术也
　淳风等按此术亦发耕耰种亩数互乘人者齐其人
　亩数相乘者同其亩故并齐为法以同为实计田一
　百五亩发用十五人耕用三十五人种用二十一人
　并之得七十一工治得一百五亩故以为实而一人
　一日所治故以人数为法除之即得也

今有池五渠注之其一渠开之少半日一满次一日一
满次二日半一满次三日一满次五日一满今皆决之
问几何日满池答曰七十四分日之十五
术曰各置渠一日满池之数并以为法
　按此术其一渠少半日满者是一日三满也次一日
　一满次二日半满者是一日五分满之二也次三日
　满者是一日三分满之一也次五日满者是一日五
　分满之一也并之得四满十五分满之十四也

以一日为实实如法得一(案原本作得一日下同/皆后人妄加日字今删)
　此犹矫矢之术也先令同于一日日同则满齐自凫
　雁至此其为同齐有二术焉可随率宜也
其一术列置日数及满数(案列原本讹作各/今据注文改正)
　其一渠少半日满者是一日三满也次一日一满次
　二日半满者是五日二满次三日一满次五日一满
　此谓之列置日数及满数也
令日互相乘满并以为法日数相乘为实实如法得一

　亦如凫雁术也
　淳风等按此其一渠少半日满池者是一日三满池
　也次一日一满次二日半满者是五日再满次三日
　一满次五日一满此谓列置日数于右行及满数于
　左行以日互乘满者齐其满日数相乘者同其日满
　齐而日同故并齐以除同即得也(案此条原本误连/上刘徽注脱淳风)
　(等三字考其文义多与前节注文重复/应是淳风等复举以总解术意今订正)
今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内

关七而取一馀米五斗问本持米几何答曰十斗九升
八分升之三
术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以馀不
税者二四六互相乘为法(案互相原本讹/作相互今改正)实如法得一
(案原本作得一斗亦/后人妄加斗字今删)
　此亦重今有术也(案原本脱/术字今补)所税者谓今所当税之
　定三五七皆为所求率二四六皆为所有率置今有
　馀米五斗以七乘之六而一即内关未税之本米也

　又以三乘之二而一即外关未税之本米也今从末
　求本不问中间故令中率转相乘而同之亦如络丝
　术
　又一术外关三而取一则其馀本米三分之二也求
　外关所税之馀则当置三分乘之二而一欲知中关
　以四乘之五而一欲知内关以六乘之七而一凡馀
　分者乘其母而以三五七相乘得一百五为分母二
　四六相乘得四十八为分子约而言之则是馀米于

　本所持三十五分之十六也于今有术馀米五斗为
　所有数分母三十五为所求率分之十六为所有率
　也
今有人持金出五关前关二而税一次关三而税一次
关四而税一次关五而税一次关六而税一并五关所
税适重一斤问本持金几何答曰一斤三两四铢五分
铢之四
术曰置一斤通所税者以乘之为实亦通其不税者以

减所通馀为法实如法得一(案原本作得一斤亦/后人妄加斤字今删)
　此意犹上术也置一斤通所税者谓令二三四五六
　相乘为分母七百二十也通其所不税者谓令所税
　之馀一二三四五相乘为分子一百二十也约而言
　之是为馀金于本所持六分之一也以子减母凡五
　关所税六分之五也于今有术所税一斤为所有数
　分母六为所求率分子五为所有率此亦重今有之
　义又虽各有率不问中间故令中率转相乘而连除

　之即得也置一以为持金之本率以税率乘之除之
　则其率亦成积分也
　
　
　
　
　
　

　
　　
　
　
　
　
　九章算术卷六