钦定四库全书
　庄氏算学卷一
　　　　　　　　　　　淮徐海道庄亨阳撰
　梅勿庵开方法
　　一平方
平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根
方者初商也初商不尽则倍初商之根为廉法除之得
两廉又以次商为隅法自乘得隅以补两廉之空而成

正方形是谓次商又不尽则合初商次商得数倍之为
廉法除之得次两廉又以三商为隅法自乘得隅以补
次两廉之空而成正方形自此而四商五商仿而加之
能事毕矣
凡减隅积皆视其隅数为何等隅数是单则积止于单
位隅数是十其积止于百位百止于万位千止于百万
位万止于亿位每隅法大一位则隅积大两位所以初
商减积止初点次商减积止次点三商四商五商皆可

以类推也(自单位作点起每隔一位点之有/二点商数有十三点商数有百也)
凡初商得一二三四皆书于点之上一位商得五六七
八九皆书于点之上两位其故何也五以上之廉倍之
则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也
所以不同
大约所商单数必在廉法上一位乃法上得零之理也
开方有实无法廉法者乃其法也
次商用归除凡归除得数皆书于筹之第一位今须看

次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即
以次商得数对馀实首一位书之若第一位是空则以
次商得数对馀实上一位书之虽不离筹之第一位而
所商之有空位无空位出矣立方审空位之法亦然
　　一立方
平方则一方次合两廉一隅以成方面立方则一方次
有三平廉以辅于方之三面又有三长廉以补三平廉
之隙又有小方隅以补三平廉之隙推之三商四商皆

然而方体成矣
三平廉长阔相同皆如初商数三长廉长如初商数其
两头高与阔则如次商数
立方三位作点者自乘再乘之积止于三位也初商点
在首位则独商首位点在次位则合商两位在三位则
合商三位也凡初商得一数者书于点上一位得二三
四五者书于点上二位得六七八九者书于点上三位
其故何也盖开方以廉为法而平方只有二廉其廉之

积数只有进一位故一进而足立方则有三平廉而其
积数有进一位者有进两位者故必立三等也要其豫
为续商之地使所得单数居于法上之一位则同方单
一其廉法单三若方单二则廉法一十二变为十数进
一位矣故一用常法二用进法也方单五其廉法七十
五若方单六则廉法一百零八又变百数进两位矣故
五用进法而六以上用超进之法也
三平廉用自乘者三平面积也三长廉则未有积故与

平廉异也次商数自乘以乘长廉者每长廉之一数各
分次商自乘之数也
　　一平方带纵
平方带纵者长方面也初商得平方与纵方纵方之阔
如平方之数长则加所设纵之数次商得廉纵一廉二
隅一盖倍廉不倍纵一为带纵之廉一为不带纵之廉
也用法与平方相似但初商时必以初廉得数乘纵数
为纵方积然后合两积以减原实为稍异耳

若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初
商位纪○而纪其改商之数于○下若次商者然既为
次商则减积亦尽于第二点
初商得五至得九皆书于点上二位不论纵之多寡若
得四以下则视纵之多少而为之进退法以纵折半加
入初商(单从单十从十/百千各以类加)若满五以上则亦进书于点之
上两位(如初商三而纵有四初/商四而纵有四之类)若纵数少虽加之而不
满五则仍书于点之上一位(如初商四而纵只有一初/商六而纵只有二之类)

总而言之所商单数皆书于廉法之上一位故初商得
数有进退之法乃豫为廉法之地以居次商也初商五
以上倍之则十虽无纵加廉法已进位矣初商虽四以
下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为廉法也亦
满十而进位矣廉法进位故初商亦必进盖豫算所商
单数已在廉法之上也
又初商若得单数其廉法即为命分凡商得单数必在
命分上一位凡开方皆然

　　一立方带纵
凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干或高
多方若干是也一带两纵而纵数相同如云长不及方
若干高不及方若干是也一带两纵而纵数不相同如
云长多阔若干阔又多高若干是也大约带一纵者只
有纵数而已带两纵者有纵数又有纵方故其术不同
立方带一纵者长多于方谓之横纵高多于方谓之直
纵初商得立方一方纵一合成长立方形次商平廉三

内带纵者二长廉三内带纵者一小隅一合七形而成
一形三商以上者皆仿此
以积实列位作点如立方法截首一点为初商之实视
立方表中积数有小于初商实者用其方根为初商得
数用其积数为初商积数次以初商自乘以乘纵数为
纵积合计立方积纵积共数以减原积而定初商不及
减者改商之及减而止
次商则以初商得数自乘而三之又以纵与初商相乘

而两之共为平廉法或以初商三之纵倍之并其数以
乘初商或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商并
同(所谓带纵廉二/不带纵廉一也)又以初商三之加入纵为长廉法(所/谓)
(带纵廉一不/带纵廉二也)乃以平廉法约第二点上馀实商除得数
为次商于是以次商乘平廉法为三平廉积又以次商
自乘以乘长廉为三长廉积就以次商自乘再乘为隅
积合计平廉长廉隅积共若干以减馀实不及减者改
商之及减而止

三商则以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为
法仍与商得数相乘为平廉法又以初商次商所得数
三之加纵为长廉法以除原实如次商法馀仿此
列商得数依立方法得一书于点之上一位得二三四
五书于点之上两位得六七八九书于点之上三位若
纵数多廉法有进位则宜用常法者改用进法宜用进
法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次
商时酌而定之盖次商时有三平廉三长廉再加隅一

为命分之法法上一位单数也从此单数逆寻而上自
单而十而百而千至初商位止有不合者改而书之若
与初商恰合不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之
也
若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数
改退小一等数者皆不用最上一点而以第二点论之
此尤要诀不可忘(或于初商外作圈而以所商小一等/数书于圈下亦可以上一点论也)
立方带两纵纵数相同者如高不及方若干则方之横

与直俱多于高是为两纵初商有纵廉二纵方一并立
方而四盖两纵廉辅立方之两面而纵方以补其隅合
为一短方形也次商平廉三内带一纵者二带两纵者
一长廉三内带纵者二不带纵者一小隅一共七形合
一短方形也
用法先以纵倍之为纵廉法又以纵自乘为纵方法乃
如立方法列位作点视表中求初商方数及立方积次
以初商得数乘纵方数为纵方积又以初商自乘数乘

纵廉数为纵廉积合计纵方纵廉立方之积共若干数
以减原实而定初商不及减改商之及减而止
次商则以初商得数加纵倍之以乘初商得数(所谓带/一纵之)
(廉二/也)又以初商加纵自乘得数(所谓带两纵/之廉一也)并之共为
平廉法或以初商三之加纵以初商加纵乘之亦同次
以初商加纵倍之并初商数共为长廉法(所谓带纵者/二不带纵者)
(一/也)或以初商三之纵倍之亦同乃置馀实列位以廉法
位酌定初商列法而进退之以平为法而除馀实得数

为次商(皆所以减首位是空/与否而为之进若退)或合平廉长廉两法以求
次商亦同于是以次商乘平廉法为平廉积又以次商
自乘数乘长廉法为长廉积又以次商自乘再乘为隅
积合计平廉长廉隅积共若干以减馀实而定次商又
法以次商乘长廉法为长廉法又以次商自乘为隅法
并长廉平廉隅法以与次商相乘为次商廉隅共积以
减馀实亦同不及减者改商之及减而止三商四商仿
此

立方带两纵纵数不相同者如长多于阔高又多于长
初商有大廉纵一小廉纵一纵方一并立方形而四盖
大廉纵以辅高之一面小廉纵以辅长之一面而纵方
以补两纵之阙也次商平廉三内带小纵者一带大纵
者亦一兼带两纵者又一长廉三内带小纵者一带大
纵者一不带纵者一小隅共七形合成不等方形也
用法以两纵相并为纵廉以两纵相乘为纵方乃如立
方法列位作点求初商之实以立方表求得初商立方

积次以初商乘纵方数得纵方积以初商自乘乘纵廉
数得纵廉积合计三积以减原实皆如前法
次商则以初商长阔维乘得数而并之为平廉法又以
初商长阔高并之为长廉法乃置馀实列位(以平廉酌/定初商之)
(位而进/退之)遂以平廉为法求次商以次商乘平廉为平廉
积以次商自乘数乘长廉为长廉积以次商自乘再乘
为隅积合三积以减馀实不及则改及则止以待三商
馀仿此

凡不能成一单数者则以所商长阔高维乘并之如平
廉又以长阔高并之如长廉又加单一如隅为命分母
以所馀之数为命分子
维乘之法如初商三十尺为阔加纵五尺共三十五尺
为长又加纵一尺共三十六尺为高阔乘长得一千零
五十尺高乘阔得一千零八十尺长乘高得一千二百
六十尺并三维乘数共得三千三百九十尺为平廉法
若合长廉加隅一即为命分母也

若在次商后则加次商得数若在三商后则加三商得
数
　　用筹法
开方用筹捷法廉隅二形也故有二法今借开方大筹
为隅法列于廉法筹下而共商之则隅廉合为一法而
用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善其
事
既得初商即倍根数为廉法以廉法数用筹(如商根为/四则用八)

(商根为六/则用十二)以列于立方筹之上为廉隅共法合视共法
筹某行内有与次商之实同者或略少者减实以得次
商以本行内方根命之既得次商则合初商次商倍之
以其数用筹列平方筹以求三商四商以下仿此
隅者小平方也故可以平方筹为法廉之数每大于隅
一位今以平方筹为隅列于廉下则隅之进位与廉之
本位两半圆合成一数故廉隅可合为一法也何以知
廉大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方之

廉法是初商倍数故大于隅一位
若次商之实小于廉隅共法之第一行则知次商是空
位也(不能成一/数故空)则于廉法筹下平方筹上加一空位筹
为廉隅共法以求三商既得三商则合初商三商数倍
之去空位筹以倍数用筹列于平方筹之上以求四商
如初商得四次商得空则用空位筹列于八筹之下及
三商既得九则倍四○九而为八一八之数空位筹可
不用矣若两空位则加两空筹三空位则加三空筹馀

仿此
凡馀实必在商数下一位起倘空位则可作圈补之又
凡廉隅共法筹第一行数即命分母也盖能满此数即
成一单数矣
若立方则以初商数自乘而三之为平廉法以平廉法
用筹列于立方筹之上为平廉小隅共法别以初商数
三之而比共法尾位进一位为长廉法以长廉法用筹
列于立方筹之下(法于长廉法筹下加一/空筹以合进一位之数)

视共法筹内有小于实者为平廉小隅共积用其根数
为次商次以次商自乘数(即平方筹/之积数)与长廉法相乘(以/平)
(方筹之数寻长廉筹之/行取其行内积数用之)得数加入平隅共积为次商总
积以减次商实乃如法以求三商馀仿此
隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每大于
隅二位今以立方筹为隅法列于平廉下则隅之首位
与平廉之末位两半圆合成一数故平廉小隅可合为
一法长廉之两头皆如次商自乘之数故可以平方乘

之又长廉之数每大于隅一位故于下加一空筹以进
其位便加积也何以知平廉大于隅二位而长廉只大
一位也盖平廉者初商自乘之积也初商于次商为十
数十乘十则成百数矣隅积者次商本位也故平廉与
隅如百与单相去二位也若长廉则是初商之三倍位
同初商初商与次商如十与单故长廉与小隅亦如十
与单相去一位也
若次商之实小于平廉小隅共法之第一行或仅如共

法之第一行而无长廉积则次商是空位也法于初商
下作空位圈以为次商而于平廉筹下立方筹上加两
空位筹为三商平廉小隅之共法以求三商其长廉法
下又加一空位筹并原有一空位筹共两空位筹为三
商长廉法或长廉不必加空筹但于得数下加两圜若
商数有两空位者平廉下小隅上加四空位筹长廉积
下加三圈
盖有空位则所求者三商也初商与三商如百与单而

平廉者初商之自乘百乘百成万故平廉与三商之隅
如万与单大四位也此加两空筹之理(平廉原大二位/加二空筹则大)
(四位/矣)
初商与三商既如百与单则长廉与隅亦如百与单大
两位也此又加一空筹之理也
命分还原法如原实八步开得方二步除实四步不尽
命为方二步又五分步之四然在两廉可得五之四在
隅则得二十五分步之十六而已实不及五之四也故

通分法还原以分母五通二步得一十分又纳分子四
共一十四分自乘得一百九十六为实以命分五自乘
得二十五为法除之只得七步又二十五分步之二十
一以较原实少二十五之四矣故必另置分母五以分
子四减之馀一以转乘分子四得四即隅差也加隅差
入方积中然后以分母自乘除之则合原积矣
若立方积一十七步开得立方每面二步除八步馀九
步如法命为立方二步又十九分步之九在平廉可得

十九分步之九在长廉与隅则不满也法以分母十九
通二步为三十八分又纳分子九分共四十七分为立
方全数以全数自乘再乘得一十○万三千八百二十
三分为通积另置分母十九自乘得三百六十一内减
分子九自乘八十一馀二百八十分以分子九乘之得
二千五百二十分为隅差又置分母十九内减得分九
馀十分转乘分子九得九十分以乘命分母十九得一
千七百一十分为长廉每步虚数又以长廉法六步乘

之得一万○二百六十分为长廉差合二差共一万二
千七百八十分以加入通积共得一十一万六千六百
○三分为实以分母十九自乘再乘得六千八百五十九分
为法以除实得一十七步合原积
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　庄氏算学卷一