钦定四库全书
　庄氏算学卷二
　　　　　　　　　　　淮徐海道庄亨阳撰
　几何原本举要
凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三
　　　　　　百六十度之数度有六十分分有六十
　　　　　　秒秒有六十微微有六十纤自此以下
　　　　　　又有不尽之数分之故执有度之圆界

为凡角大小之规也
二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成
　　　之二角俱为相等
　　　在平行线上作一斜直线即成八角此八角之
庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两
角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓
内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对
错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊

己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半
钝半锐各自相等推之三平行线四平行线皆然也
凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度
凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对
二角并之始与一外角等
凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等
则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也
若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内

所函亦等也
若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角
又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也
三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也
盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等
也则底线左右所成角必等可知
凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次
大短者对小者

凡三角形必有二锐角何也凡三角形将三角并之必
与二直角等故一钝必两锐一直亦两锐即三等角亦
皆锐也
凡自一点至一横线作众线众线内有一垂线必短于
他线而他线之与垂线相离愈远者线愈长也
　　　　　　凡三角无论直锐钝合并二界线必长
　　　　　　于所馀之一界线所以凡自一点又至
一点画几线其各线中仅一线直而短馀必曲而长矣

四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等
而两边长两边短也若四边等而角两钝两锐者谓斜
方形又两边长两边短而角两钝两锐者谓长斜方形
若四边不等四角又不等者谓无法形
凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等
于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线
四边形分为两平分
凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之

正中
凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四
边形为两平分
　　　四边形若于对角线不拘何处交加依两界作
　　　二平行线即成四四边形二形为对角线内之
　　　形二形为对角线旁馀之形此两旁形其积必
等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三
角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两

大三角两小三角则所旁馀四边形其积亦必等
　　　两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱
　　　等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊
己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于
甲丁戊己二线每加一戊丁线即甲戊丁己两线俱等
因甲乙丙丁之四边形为平行线则所各相对之线亦
俱等也再戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一
边之内外角两形为等自此两三角形减去丁戊庚所

存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等于此所存之二形
每加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊己丙乙之相等积
四边形矣故凡两平行线内凡同立于一底者则线无
论短长所存之四边形俱等积也
两平行线内若同立一底凡所有各种三角形之面积
亦俱等也盖三角为平行四边形之一半四边既等则
三角亦等也底度同亦然
凡众角形自角至心作线有几界即成几角形若作六

界即成六三角形矣
　　　　欲知众边形角度之数将边数加倍于得总
　　　　数内减四其所馀之数为直角数即为众角
度也如七边形是七个三角形凡三角形并三角等两
直角则七三角形等十四直角而圆心所有之七角当
四直角矣故将十四直角减四直角馀十直角之度为
众角之总度也
凡一直线切于圆界虽长过界而不与圆界出入交加

此谓之切线又两圆之圆界相过相切而不相交加出
入谓之切圆
　　　　　　凡一直线横分圆界谓之弦如戊所分
　　　　　　圆界之一段谓之弧如甲乙丙弦线与
　　　　　　弧线相遇处成两形如甲乙丙俱为圆
之弧分之角
凡自弦之两头作两线外向圆界相遇此角名为圆分
内角又谓对弧立角

自圆心作二辐线至弧线成三角形谓之分圆面形
凡自与圆界相切辐线之末作垂线必在圆外
凡在圆弦线若自圆心作垂线可以平分弦线垂至圆
　　　　　　界便可平分弧线盖自甲心作两半径
　　　　　　至乙丙二处其线相等则丙乙二角相
　　　　　　等故自甲角至乙丙底线之丁处作垂
线便是平分也
凡自圆外一点至圆界两边作二切线此二线必相等

盖自圆心作二辐线与二切线相切则二切线与二辐
　　　　　　　　　线互为垂线而两线相遇之角
　　　　　　　　　必俱为直角又于两直角作一
　　　　　　　　　对角线是谓弦线而成丁乙丙
与甲乙丁两三角形丙乙丙丁系辐线原等则底线两
合角必等减圆内两角数则甲乙丁甲丁乙二角乃两
直角之所馀也二角既等二切线亦必等矣
凡圆有两弦线若等其分圆弧面之积亦等若自心至

两弦各作一垂线则二垂线度亦等又自心至两弦线
之各两头作四辐线亦等则所成之两三角形亦等
　　　　　　　于甲乙辐线末作垂线者切线也甲
　　　　　　　辐线割圆于戊而至丁者割线也戊
　　　　　　　垂线至己者正弦也凡立于乙戊弧
之角者欲求三角之度三边之数皆于是取也
三角俱抵圆边者界角也一角居心二角抵边者心角也
心角交与界角有三种其圆心所生界角或在二直线

　　　　　　之一线者或在二直线之外者或在二
　　　　　　直线之间者此三种心角皆大于界角
　　　　　　一倍如第一图心角在丁乙直线之内
　　　　　　则心角为甲丙丁钝角形之外角外角
　　　　　　则兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙
　　　　　　甲为一圆之辐线相等则所合丁甲二
　　　　　　角亦必相等外角既兼有二角之度则
　　　　　　比丁角为大一倍可知矣第二图心角

　　　　　　在丁乙直线之外则自丁过内心至戊
　　　　　　作一直线成甲丙戊一大心角甲丁戊
　　　　　　一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一
小界角准前论大心角倍于大界角小心角亦倍于小
界角今于大心角减去小心角大界角减去小界角则
所减之心角倍于所减之界角而所存之原心角亦倍
于所存之原界角也第三图心角在丁乙丁甲直线之
间自丁界过丙心至对界作一直线亦如第一图论将

心角剖为二界角亦剖为二则分为两心角各倍于两
界角仍合为一心角则倍于一界角也
自圆之弧线凡一段任与圆界何处其尖相切所成之
　　　　　　界角有几何其度俱为等也盖同立一
　　　　　　弧者心角皆大于界角一倍如上节所
　　　　　　云则同弧之界角不论何处皆小于心
角一倍也因其俱为心角之半则不拘何处作界角皆
相等也

圆内有一心角一界角若心角所对弧度得界角所对
弧度之一半此两角度必相等也盖同弧之心角大于
界角一倍今于心角弧度去一半则两角必相等也
凡圆之界角若立于圆界之半必为直角盖心角所对
弧线若是界角所对弧线之一半则二角之度必等今
界角对弧为半周将半周弧剖作二心角则二角皆为
直角既为直角则界角对弧乃兼两心角对弧者安得
不为直角乎

凡圆之界角若在半圆分之小分内必为钝角也如图
甲乙丙为小半圆则所馀甲丁丙为大半圆若将甲丁
　　　　　　丙弧线于丁处平分又自圆心作戊丁
　　　　　　戊甲两线丁甲弧大于圆周四分之一
　　　　　　为钝角也又心角对弧若为界角对弧
之一半则二角度为相等今甲丁正得甲丁丙之半则
戊为钝角乙亦为钝角也
凡圆之界角若在半圆分之大分内必为锐角也如图

　　　　　　甲乙丙为大半圆所馀甲戊丙为小半
　　　　　　圆若将甲丙为弧线两分于戊又自丁
　　　　　　作丁甲丁戊两线成甲丁戊心角形此
心角形所对既不足圆界四分之一则为锐角也既为
锐角则甲乙丙角必为锐角可知矣
函圆形者有函圆切三角形函圆切四方形有函圆切
多边形圆内切形者有圆内切三角形圆内切四方形
圆内切多边形函圆众界形之度大于函于圆之界其

函众界形之圆界度亦大于所函之众界形在外者大
在内者小也故函形界必大于函于形界也
有一函圆众界形又一直角三角形此三角形一直角
所生二直线内一直线度若与所函圆之辐线度等又
一直线度与函圆众界形之各界共度等则三角形面
积与众界形面积俱等也如自几边形之心至角作几
线分为几三角求三角之中长线即辐线也底等高等
所作三角形俱等即所云二平行线内同底所作三角

形俱等也合众三角形之底为一大三角形之底其面
积当无不等也
一圆所函之众界形一直角三角形此三角形之一直
角所生二直线内一直线度与彼圆自心至众界形界
所作垂线度若等再一直线度与彼众界形之共界度
若等则两形之面积俱等也
有一圆形有一勾股形若股如半径勾若全周则两形
之面积必等也盖比前函圆之众界形则为小比前函

于圆之众界形则为大就中间取之恰合无疑也夫函
于圆之众界形辐线及界而不及弧是比圆为小也函
圆之众界形辐线虽及弧而众界度共线又长是比圆
为大也今以圆周及辐线取直角三角形而合之相等
无疑则可得圆之面积也盖圆线式异于直线式难于
符合然苟将圆线作万万段亦与直线近也
众界形或函圆或函于圆其界数愈多愈与圆界度相
近如自函三边而为六边六边而为十二边十二边而

为廿四边无论内外愈近圆界度数也试设一函于圆
九十六边形又设一函圆九十六边形而作一圆若将
函圆形作一千五百六十二分又将他形照此所分之
度分之则函于圆形仅得一千五百六十一分矣而圆
界度大于所函之众界小于函圆之众界必得一千五
百六十一分馀其圆界中心径线必得四百九十七分
若即小数算之将圆界作二十二分则中心径线必得
七分馀故在圆界可得直线之度在直线亦可得圆界

之度也
有一圆形又一众界形此圆界度若与彼众界度等则
圆形之面积必大于众界形之面积也试准前半径作
股界度作勾之法求之则方周圆周之界度虽同而圆
之垂线长方之垂线短则方所成之三角不及圆所成
之三角而所函之面积方亦不及圆矣
凡平面上所立之线若无偏斜犹平阶立直柱其各边
所生之角若俱直是谓平面上之垂线

相对两平面之角各垂线度若俱等此相对二平面谓
之平行面
平面上所立之平面若无偏斜犹平地上作直壁是谓
平面上之直平面
自三面四面以上其各瓣相并所存之角谓之厚角
　　　　　　成厚角之平面各角度不足于四直角
　　　　　　度也何也试将五面厚角尖使其平伸
　　　　　　共为一平面则五瓣各相离而有空处

不能成圆面故不足四直角也若欲将四直角显尖作
厚角其瓣大而不能成平面厚角矣
平面三棱厚角其三面内若将两面角并之必大于所
馀之一角度也试将三平面使之平伸而两角相并一
角孤行则可见矣
凡平面上二直线相交处作一垂线莫偏斜则此线于
平面上在在俱为垂线也盖若有偏则自平面上视之
或成钝角或成锐角既无偏斜则为直角既为直角则

移向平面上处处俱为垂线矣
众线相交处立一垂线其角若俱直此所交之各线必
在平面一也
平面上作二垂线正直立之此二线必互为平行也盖
于平面上作一直线而正直作二垂线则所交直线之
角皆为直角所谓二直线一边成内外之二角也
凡平行二线之间任意自此一线至彼一线随处作直
线斜线交线三角形线俱同原平行线在平面上

二线与他一线平行虽在别面此二线亦互相为平行
也
相对二平面间若横一线正垂在二平面上俱生直角
此相对二面互相为平行面也盖于二平面上各作对
角斜线两相交处为两平面之中而垂线正当两线相
交之处而俱成直角则两平面上之两对角四边俱系
平行则两平面亦必为平行者也
二平行而上凡相当之各二线俱为平行也

二平行面横穿一平面而皆成直角则中间缝线亦必
平行也如以木版穿木版之状
各种面内积之处谓体依面之端名之也设如全身无
角只有一圆面此谓圆体全身各面俱平而有角此谓
平体立方是也其身有曲平两相杂谓之杂体如半截
橄榄是也全身相对之各二面俱平行此谓平行面体
长立方长斜立方是也全身相对之面不平行而独两
底面平行此谓底平行面体三角柱是也周围圆形而

底与面平谓长圆体圆柱是也一平面底而立几平面
俱合于一角而成大此总谓尖瓣体也底三角者为三
瓣尖体底四角者谓四瓣尖体底众角者谓众瓣尖体
若在平面上立圆面而成锐尖此谓尖圆体也
所云圆体长圆体尖圆体此三种面俱生于一动之间
　　　　　耳以甲乙为枢心将甲乙丙作转式旋转
　　　　　一周即成为圆体也于甲乙丙丁平面形
　　　　　以甲乙为枢心以丙丁线界作转式旋转

　　　　　一周即为长圆体也于甲乙丙三角形以
　　　　　甲乙为枢心以丙界作转式旋转一周即
　　　　　尖圆体也枢心正则为正体枢心偏则偏
　　　　　体矣
凡体若面平行相当所对两边面积俱为等也如正方
体六面相当则六面面积俱等如长方体各底面相当
则底面之面积俱等也
凡体苟面积形式一同俱等谓全等体形不等而积等

谓等积体积不等而式等谓等式体
平行面三凡体形自对角线分为两段此两段为全等
体也
平行平面之间若同在一底立各平行体形其积俱为
等如面例
平行平面之间有在等积底所立之各平行体形其积
必俱等盖所立之处不同而其度同也故等也
平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体

形此所立各体之积必俱等也理如前节
平行平面之间同在一底作一平行体形作一三面体
形则三面体形必为平行体形之一半
各种体形难以发明必作图以明然有空实二端空者
宗其空实者宗其实乃可耳
凡等式体苟立于等积之底其体之高若等则其积俱
为等凡尖圆尖瓣皆然也盖将大体截分为众小体其
小体底度亦等也

有各种平行底之平面体与各种平面尖体两底积若
等其高数又等则此一平行底之平面体与彼平面尖
体三形之积等推之平行面体与四瓣尖体三形之积
等平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等盖三面
尖体为三平面平行底平面体三分之一四面尖体为
平行面体三分之一尖圆体为圆柱体三分之一也若
将实形作空形以水注之作比例可见
凡相等界度之体内其圆体所函之积数强于他种体

所函之积也如一圆一方一十二瓣体论积皆不及圆
盖如论面函于圆界之积大于各等边平形所函之积
也六面俱为等面八角俱为直角是谓正方体
厚角正体有五种观于各面数而名之也一为四瓣面
之体此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是
谓四瓣体二为六瓣面之体即正方体也三为八瓣面
之体共八面面各三角各三界度若俱等是为八瓣面
体四为十二瓣面之体此每面有五角各五界度若俱

等是谓十二瓣体五为二十瓣面之体此每面有三角
每面各三角各三界度若俱等是谓二十瓣体此正体
五种外不生他形总不外三角四角五角之平面合而
成也盖将三角平面形三瓣形合成一厚角馀一面求
角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣
体是也将三角平面四形合之复加四形八瓣体是也
将三角平面五形合之复加十五形二十瓣体是也然
欲以三角六形合之不能成厚角矣盖六三角平面形

界于界角于角而对合之成六角之平面形能为平尖
不能显也是故三角形所生只于四瓣八瓣二十瓣自
此而外无有也四角所成只于正方角此外无有也将
五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣体是也
此外不能成他角也至六角平面形则将三角相合已
等于四直角能为平而已不成厚角也六角如此七八
以上可知矣
凡比例面比面体比体线比线不同者不相谋也

凡将两物度数互相比之此比出之度数为大为小谓
之比例其比者与所比于物者俱谓率齐数之谓也其
比之物谓前率其所比于之物谓后率也如甲乙二线
相比此所比出之甲线或为长或为多乙线或为短或
为少谓之比例也将此二线相比故谓之二率而所比
之甲线谓之前率其比于之乙线谓之后率矣
凡两两相比谓之四率如一率与二率之比同于三率
与四率之比此为同理比例也如一率甲二率乙三率

丙四率丁乙线为甲线六分之五丁线为丙线六分之
五则甲乙二线之比同于丙丁二线之比是谓同理比
例苟求得乙线有甲几倍之数则可知丁线有丙几倍
之数也
又凡四率将一率与三率分作几分将分数相等定准
此两率分度虽不同而分数为等于是以二从一以四
从三看几分为均其一与二之比即如三与四之比为
同理比例也

有两不同之比例如二率四率之分数相等而一率于
二率为四之六三率于四率为四之五则不同矣而可
相比例谓一与二之比大于三与四之比也前比例之
数多再比例之数少也故又谓之两不相同之比例也
有相连比例率如甲线一(一/率)乙线二(二三/率同)丙线四(四/率)甲
与乙之比同于乙与丁之比是谓相连比例仿此于相
连比例之内将一率甲与三率丙比者谓隔一位加一
倍之比例也将甲与丁比者谓隔二位加二倍之比例

也将甲与戊比者谓隔三位加三倍之比例也比例难
于讲解试作圆以明之于大圆内作小圆于圆之中心
作二线割小圆弧抵大圆弧则成大圆己甲庚小圆辛
甲壬之甲角此甲角之对弧己庚苟为大圆之六十度
　　　　　　则亦为辛壬小圆之六十度盖圆之大
　　　　　　小虽不同而分数为等故以大圆周为
　　　　　　一率庚己弧为二率小圆周为三率壬
辛弧为四率一与二之比同于三与四之比也两圆周

为比之之率为前率两弧为比于之率为后率两两相
当分数俱等是为顺理比例也仿此凡各率各度虽异
相当之数若等一二之比同于三四之比俱为顺理比
例又有几种论如左一种反比例反一为二反三为四
仍相等也如前大圆周为一率大弧界为二率小圆周
为三率小弧界为四率今以大弧界为一率大圆周为
二率小弧界为三率小圆周为四率比例亦同也
一种转理比例谓一与三比二与四比也以大圆周为

一率小圆周为二率大弧界为三率小弧界为四率其
比例亦无不同也
一种分理比例谓于一率三率中各减与二率四率相
等之一分以比二率四率仍为相当比例也如二率四率
原于一率三率为六之一今各减一率三率之一分则
又为五之一比例亦然也
一种合理比例谓合原一率二率之数以比二率合原
三率四率之数以比四率原各为六之一今又各为七

之一也
一种更理比例谓换却二率四率之原数各更以他数
如原各为六之一今又各为六之五也
一种隔位比例如有两项四率原为相当比例则以此
四率中之一率与四率为比又以彼四率中之一率与
四率为比合为一四率仍为相当比例率也
一种错综比例如此边有相连比例三率彼边亦有相
连比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟错

综之则取此中末之比例彼另设一线置于彼第一线
之比又取此上末之比例彼另设一线与彼中线之比
盖彼虽另设一线仍是相连比例线此相连之比同于
彼相连之比此隔位之比亦同于彼隔位之比也
一种相减比例如甲丙乙丁二线所有之三倍内减去
丙戊丁己二倍互相之比同于原甲丙乙丁二线之比
　　　　　　也
一种相加比例如甲乙二线照本度各加三倍为丙丁

　　　　　　线互相之比同于原甲乙二线之比也
得此比例线之法则面之相当者为比例面体之相当
者为比例体也且线亦可以例面面亦可以例体也如
甲六分线与乙三分线相比丙六分面与丁三分面相
比戊六分体与巳三分体相比每每相当分数相等则
互相为比例也
以二数相乘所得两数为均若以二线均为几度每各
线度作小方形以此线小方乘彼线小方即成两直角

四界形盖以一线为横一线为纵彼此互乘形亦均也
又一线分为三度作小方形一线分为四度有奇作小
方形一线横一线纵乘成函十二长方形而奇数亦附
于方末也
又将前线所作方形取其半相乘亦得四方形也盖取
三方之半而为六小方取四方之半而为八小方八六
四十八六八亦四十八便成两函四十八之长方形而
其总度仍相等也盖兼取其半而无改于原度故也

四方直角平面形凡在一线可以相乘也如甲乙形欲
　　　　　　　　　　　　　　乘丙丁线则将此
　　　　　　　　　　　　　　形作四小方体又
　　　　　　　　　　　　　　将丙丁依甲乙所
分之厚分比之若得三分则将甲乙形三层垛之遂成
函十二小方形之直角体也凡六面平行直角体必得
垒一四边直角平面与一直线相乘而成也
凡两直角平面形欲相比例有两比例焉如大形之长

度与小形之长度几倍为均大形之宽度与小形之宽
度几倍为均是也然合(阙/)比两比例仍是一比例如甲
　　　方之长与乙方之长三倍为均甲方之宽与乙
　　　　　方之宽两倍为均二三相乘为六则甲方
　　　　　之形与乙方之形之比例为六倍为均也
　　　若长四倍为均宽三倍为均三四一十二则大
形与小形之比例为十二倍为均也再若大形之横度
比小形十二为均小形之直度比大横直度三倍为均

则以三除十二得四大形比小形四倍为均也若四倍
则以四除十二得三倍为均皆成一比例也
有两直角形若此形之长倍于彼形之长而彼形之宽
反倍于此形之宽则此两形之积为等也或一倍或三
四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率
相乘所得数必同于一率四率相乘所得数也如一率
二二率四三率三四率六以中率三四相乘为十二首
尾率二六相乘亦一十二也试将三度四度之线相乘

作长方形又将二度四度线相乘作长方形形虽不同
而积等也故一二三率已知者也所求四率未知者也
既求得四率则以一率与四率相乘所得数与二率三
率相乘所得数无以异也如东河之水流速三倍西河
之水流速六倍东河之流一秒十缸欲知西河之流一
秒几何缸则以东河之三倍为一率西河之六倍为一
率东河之十缸为三率求得西河之流二十缸试相乘
之数为等也又如三个兵每月饷六两今已五月应饷

几何则以三兵为一率六两为二率五月为三率求得
饷银一十两试相乘之数又等也
有两个直角面苟此面之横界与他面之横界此面之
纵界与他面之纵界比例若等则此两面相比之比例
即为两界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相
　　连比例一条所云也盖两界之比例第为一倍之
　　比例而两面之比例为加一倍之比例也如甲之
　　横界大于乙一倍而为二纵界亦大于乙一倍而

为二则甲之面大于乙之面三倍而为四为二倍为均
者二若甲之横界纵界各大于乙五倍则甲之面内与
乙之面内六倍为均者有六矣
丙乙之边线为相连比例丙乙之面于相连比例中为
　　　隔一位加一倍比例今设一甲线为一分乙线
　　　为二分丙线为四分为相连比例则丙面与乙
　　　面之比同于丙线与甲线之比盖丙面大于乙
　　　面三倍丙线长于甲线三倍共为隔一位加一

倍之比例也
前数节所论直角面之纵横界比例等者谓之同直角
面其两相比例之横界俱谓之相当界也
在相同直角面纵横两相当界之比例必等也
在相同直角面于两面相当之一界作为两方面则所
作两方面互相之比即同于原面互相之比亦为隔一
位加一倍之比例也
直角体则有三比例长也宽也厚也如大形之长宽厚

各大于小形之长宽厚一倍则先成长宽倍之平面形
于平面形上又叠一相等之平面形则亦倍厚矣倍而
成平面则二倍为均者有二倍而成体则四倍为均者
有二矣
有直角两体苟此一体之底与他一体之底为大一倍
而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍则此二体之
积等盖即一体之竖起与放倒也
有两直角体苟此体之长宽厚界与彼体之长宽厚界

相比之比例若俱同谓之同式体而长宽厚各一边相
比例之界俱谓相当界也
凡两直角同式体互相比之比例为界比例之隔二位
加二倍之比例也如大体之长宽厚比小体各大一倍
则此两体相比之比为隔二位相加之比例也盖界线
为相连之比例者倍而为平面为隔一位相加之比例
又倍而为体则为隔二位相加之比例也苟作一相连
比线之率甲为一分乙为二分丙为四分丁为八分又

作一直角体与三界各加一倍之直角体则小体与大
体之比同于一率甲线与四率丁线之比若知甲线比
丁线为八分之一即可知大体比小体为八分之一也
有直角同式两体在此两体比例相当之二界立作两
四方体互相以比之其比例仍同于原体之比也盖原
体为隔一位加一倍之比例则于两相当界所作体亦
为隔一位加一倍之比例均是八分之一也
凡二平行线内凡有直角面互相之比同于与此两底

　　　　互相之比也如甲己面之丙己底界与戊丁
　　　　面之己丁底界若大三倍则甲己面与戊丁
　　　　面亦大三倍也试将戊己相兼之纵界依此
界分与丙己己丁底界相乘成甲己面十二分戊丁面
四分总为大三倍也
凡二平行线内所有凡平行四边面互相之比同于其
　　两底界互相之比也盖同底所立之直面斜面积
　　俱同则直面斜面之比例俱等故底若大三倍则

面亦大三倍也
凡在二平行线之间若有两三角形以两形积互相之
比必同于两底界互相之比也盖同底所作之三角形
为四边形之一半四边形之比例等则三角形之比例
亦等故三角底若大一倍则三角形积亦大一倍底若
大三倍则积亦大三倍也
凡三角几形之底俱在于一直线又与各底相对之众
角皆聚于一处则其三角众形必在二平行线之间也

观图可见
　　凡三角形作与底线平行之线不拘何处截断则
　　两旁之线皆成四比例线如图甲丁与丁乙之比
　　　同于甲戊与戊丙之比是二段互相比之比例
　　　同也又甲丁一段与甲乙全线之比同于甲戊
一段与甲戊全线之比是分线之比例同也故曰四相
比例也盖自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二线分为
几三角形此内之乙戊丁丙丁戊两三角形既在二平

行线之间又同立于丁戊之底则其积等也又各增入
甲戊丁三角形其积亦等也又甲丁戊丙丁戊两三角
形其底线同在甲丙一直线而两角又相遇于丁即如
前所云二平行线之间有两三角形则两形积互相之
比必同于两形底界互相之比则甲丁戊形积比丙戊
丁形亦同于底线甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙
丁戊两形积之比亦同于甲丁丁乙两底线之比也再
甲乙戊甲丁丙两形之积既等则甲丁戊形积与乙丁

戊形积之比同于甲丁段与乙丁段之比而又同于甲
戊段与丙戊段之比是以甲丁段与乙丁段之比必同
于甲戊段与丙戊段之比也故以甲丁为一率丁乙为
二率甲戊为三率可以求戊丙之四率也诚如是以甲
乙丙全形之三角或与所分甲乙戊三角或与所分甲
丙丁三角之比例俱为同也因其比例同而此三角全
形所分两形之积既为等则甲丙丁所分形之甲丁底
与甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形

之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱为同
也则甲丁段之一分为一率甲乙全线三分为二率甲
戊段一分为三率甲丙全线四分为四率亦为相比例
率也
凡在三角形内不论何处作与底平行直线则以所作
　　　　　平行线与原底线之比同于两边所截一
　　　　　段与各每边全线之比也
如图所截若甲丁段二分甲乙线六分则丁戊线亦为

　　　　二分乙丙线亦为六分可知也何也试将甲
　　　　乙丙三角形转以乙甲线为底于戊丁线之
戊处至己处作与甲乙平行线则己乙之度即戊丁之
度准前节全线与截段相比之例则戊丁平行线与原
为底乙丙全线之比必同于甲戊与甲丙全线甲丁与
甲乙全线之比也故以甲戊为一率甲丙为二率戊丁
为三率乙丙为四率为四相比例以甲丁为一率甲乙
为二率戊丁为三率乙丙为四率亦四相比例率也

大小三角形每每相当角若等则其积虽异而其形为
　　　　　同谓同式三角形也再有一三角形自此
　　　　　形分之出一庚子癸三角形又出一子丑
壬三角形此所分出两形与原形每每相当角俱等亦
谓同式形也
三角众形内相当各二角度若等则馀一角度必等亦
谓同式三角形也盖三角相合必与二直角等足半周
之度也

有众大小三角形若同式将众形相当界互相比之比
例为同俱为相比例率也如二勾股同式形则此股与
相当股之比必同于勾与勾之比股与股之比也试将
勾股如前截一小勾股可验矣
同式直角两形互相之比同于在此各一面相当界所
作方形相比之比例盖三角积得方形之半全与全之
比若半与半之比也
同式直角两形互相之比即是各一面相当界相比之

比例为加一倍之比例也如甲线一分乙线二分丙线
四分为相连比例线今两形之三边线若各大一倍则
亦如直角四边形积为大三倍矣大三倍则非相连比
例线而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比
例也
同式钝角锐角互相之比亦同于此各一面相当界所
作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相
比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节

有多边众形其边数同而相当角度等谓同式多边形
则大形甲边之比与小形甲边之比同于乙边与乙边
之比也
有众曲界形在曲界形之或内或外作相函之各种直
　　　　　　　　　　　　　　　　　　界形其
　　　　　　　　　　　　　　　　　　式若等
　　　　　　　　　　　　　　　　　　亦谓同
式曲界形也两杂界形二圆分形亦于两中间各作三

角形若同式即谓之同式杂界同式圆分也
大小各圆分之式若同其分限虽殊而分数必等与其
分相对所成之心角必俱等也
将同式大小多边两形内为三角以分此所分相当大
小三角形之式俱同也如两五边形各分为三三角形
　　　　　　　　　则甲乙丙与己庚辛相当为同
　　　　　　　　　式甲丙丁与己辛壬相当为同
式己壬癸与甲丁戊相当为同式盖两形相当角度等

则相当界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相当之
比同于甲丙己辛相当二界相比之比例由是甲丙己
辛之比同于丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦犹甲
丁己壬之比而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比故
曰相同式也
　　　凡同式多边大小众形互相之比同于在此相
　　　当界所作四方形互相比之比例而与此各一
面相当界互相比之比例为加一倍之比例也理如前

　　　　　　　　凡大小同式直界形互相之比同
　　　　　　　　于在其形内外相函之同式形各
　　　　　　　　相当界立作平面方形互相比之
比例如图甲乙丙庚辛壬相当三角各二形之比同于
在甲丙庚壬所作方形相比之比例也盖大形所函者
甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故于甲丙
庚壬相当二界立作方形而得比例也
凡圆曲杂各种界形之内将每每一类同式形互相之

　　　　　　　　　　　比同于在所比形之内外
　　　　　　　　　　　相函同式形之每每相当
　　　　　　　　　　　所作方形相比之比例也如
　　　　　　图大小二圆形内虽函六面同式多边
两形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四边同式两形函甲
丙丁庚壬癸三角同式两形而但取所函四边形甲丙
壬庚相当界所作之方形便得圆形比例也盖众界之
界愈多则于圆界愈近故将直角形分为千万界形在

圆界可以近用之而圆曲形亦既可以为千万直界形
以用之故将此二圆为同式直界互相之比同于在所
函同式形之相当二界所作方形相比之比例也然则
二圆互相之比同于或在辐线或在径线所作方形相
比之比例可知矣
凡大小平面体之相当角度若俱等相当界互相比而
比例若同是谓同式体正方体四瓣面体皆然若圆柱
体则论其中所函尖瓣等体若同式则谓之同式圆体

各种体之式若同将每每一类体互相之比同于在每
每相当界作四方体相比之比例如于两同式尖瓣体
之相当作四方体是也
同式各种体内将每每一类体互相比者同于在此内
外各所函者函于者同式体之每每相当界作方体互
相比之比例也如两球体函于两方体以小球则大球
则以小方为一率小球为二率大方为三率可以得大
球之四率也

　　　自直角三角形之直角至相对界作一垂线分
　　　为两直角形则此大小三三角形俱为同式也
　　　盖中垂两傍所成俱为直角而乙角又不变两
角相等则一角亦等而丁变为甲甲变为丁矣丙角亦
　　　不变而与乙甲丁同为同式三三角形也
　　　自直角三角形之直角至于对界作一垂线截
　　　相对界为两段则所截之两段长者为一率短
者为三率而垂线为中率为相连比例三率也如甲乙

丙甲丁乙两角俱为同式则比例必同以乙丁比甲丁
同于甲丁比丁丙也
　　　自直角作垂线至于对界在此垂线作四方形
　　　又将所分对界两段一段为长一段为高合作
　　　长方形两积俱等也盖三线既为相连比例线
凡相连比例三线其中线自乘之积同于一线三线相
乘之积故也
凡直角三角形是谓勾股勾股上两方合之与弦上方

　　　　　等积何也如图以甲乙丙全形分为甲乙
　　　　　庚甲庚丙大小两形是为同式形而每每
相当界互相比之比例同也于是以小形庚丙与全形
　　　甲丙之比同于全形甲丙与全形乙丙之比为
　　　相连比例率也则在甲丙中率所作四方形必
　　　同于一率庚丙为高与三率乙丙为长相乘所
作长方形之积等也又大形乙庚与全形甲乙之比同
于全形甲乙与全形乙丙之比亦为相连比例率而在

甲乙中率所作方形同于一三合率所作方形之积等
也今庚丁乙壬所分之两形与己丙戊乙两方形每等
则将所分两形相合则乙丁方形自然与己丙戊乙两
方形等可知矣
在勾股弦三界作凡同式三形弦上积兼有勾股之积
也
在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆在二小界
作甲庚乙两半圆亦如前节为等也而甲庚乙半圆之

　　　　　甲戊乙弧一段甲己丙半圆之甲丁丙弧
　　　　　一段若减之则所馀甲庚乙戊甲己丙丁
　　　　　二段又与甲乙丙原三角形之积等也
　
　
一圆之内二弦线不拘何处相交以相交所截之段互
相转比之比例俱同为四相比例率也如图二线于己
处相交以此戊己段与己丙段相比之比例将己丁己

　　　　　　乙相比之位转之为己乙己丁虽以后
　　　　　　为前以前为后比之其比例仍同而戊
　　　　　　己己丙己乙己丁四段为相比例率也
盖乙戊己丁己丙两形此两形之乙角丁角既俱切于
圆界而又同立于戊丙之弧则此二角为等而二角之
己角为对尖之角其角亦为等二形之三角俱等即为
同式也同式则戊己己丙相当二线互相之比即同于
己乙己丁相当二线互相比之比例又戊己己丙己乙

己丁四段俱为相比例率也
于圆径线不拘何处作一垂线将径线截为两段则所
截之两段为一率三率而垂线为中率成相连比例也
即勾股垂线之理
　　　　　　　　自圆外之凡一点出二线过圆界
　　　　　　　　之二处至相对弧界则此两全线
　　　　　　　　互相之比同于在圆界外所有之
二段转位以比之比例而为四相比例率也如圆自丙

至丁自戊至乙相交作二线成甲丙丁甲乙戊两三角
形则两形之丙戊二角既同切于圆界同立于乙丁之
弧则丙戊等角也再甲角既系公共则亦等角也二角
既等则同式矣同式则甲丙甲戊相当二界互相之比
同于甲丁甲乙相当二界相比之比例以甲丙为一率
甲戊为二率转位甲丁为三率转位甲乙为四率俱为
相比例率也
将函于圆之三角形于甲角作平分角之甲戊直线则

甲乙傍线与甲丁段直线之比即同于甲戊全直线与
　　　　　　甲丙傍线之比也盖甲乙戊甲丁丙形
　　　　　　之丙戊二角同弧同切其度为等而甲
　　　　　　乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角
而平分为两角其度亦必等是为同式形也则以两形
之相当甲乙小界与甲丁小界之比同于又相当甲戊
大界与甲丙大界之比也
将函于圆三角形之甲角为两平分自甲角至底线作

甲丁直线分底线为两段以乙丁与丁丙之比同于甲
　　　　　　乙傍线与甲丙傍线之比也盖自丁处
　　　　　　作甲乙平行之丁戊线成戊丁丙小三
　　　　　　角形则全形之乙角与小形之丁角为
平行线一边之内外角为等而丙角系公共角亦为等
为同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角为平行
线间之尖错交角度为等而甲丁戊甲乙丁之甲角原
系平分亦为等是甲丁戊角之丁角甲角等可知两角

既等则两等角所对甲戊丁戊线亦必等也是故全形
甲乙线与甲丙线之比同于相当丁戊线与戊丙之比
而甲戊线与丁戊线等则甲乙比甲丙亦若甲戊比戊
丙也又丙乙丙甲二线既为丁戊平行线所截则乙丁
比丁丙若甲戊比甲丙也
　　　　　　　凡球体在长圆内苟此球径线与长
　　　　　　　圆体之底径高度若俱等则此球积
　　　　　　　为长圆体三分之二也何则将球体

合长圆体于乙丁平分之又将半长圆体内减去半球
体馀乙己庚丁申丙癸凹面体为与己庚壬尖圆体等
积等也何以知之将尖圆凹面二体俱与己庚底平行分
为几段之面则两体之面积每段各相等也试将尖圆
体分癸卯申一段之面积必与分曲凹形午癸申戌一
　　　　　段周围之面积等矣何也以壬癸半径作
　　　　　正方与壬子子癸两线作两正方并之为
等也又以壬癸半径线作一圆与以壬子子癸为两半

径线作两圆并之为等也再壬乙与壬癸俱是一圆之
　　　　　　　　半径线必等而壬乙与卯午俱为
　　　　　　　　一长方之平行线亦必等则卯午
　　　　　　　　与壬癸亦必等也是则以壬子子
癸为两半径作两圆亦必等于卯午半径线所作一圆
也今将卯午所作圆内减去与壬子线相等之癸卯线
所作之圆即馀癸午曲凹形一段周围之面与癸子为
半径线所作圆面等也夫卯癸线与癸子线既为等线

而卯癸与癸子为半径作两圆亦必等则癸午曲凹形
　　　　　　之面积必与卯癸为半径作圆之面积
　　　　　　等矣再将壬未半径作一圆以壬辰辰
　　　　　　未为两半径作两圆等亦如前所云以
辰未为半径作一圆与壬未相等辰已线为半径作一
圆之面积内减去辰未作圆之面积所馀未巳曲凹形
一段周围之面积与壬辰为半径作圆之面积等而壬
辰与辰寅既为正方之等线则以尖体内之辰寅为半

径作圆之面积与相对未巳曲凹形之面积等也夫两
体每段所分既俱相等则全体亦必相等矣前云一尖
圆体与一长圆体其底积高数若等则尖圆体与长圆
体为三分之一也所馀曲凹形既与尖圆等积则亦三
分之一而所减半球为半长圆体三分之二而全球为
全长圆体三分之二矣
有一尖圆体又一半球体苟尖圆体底径与半球体径
度等而尖圆体高度与半球体半径又等则此尖圆体

为半球体积之一半也盖尖圆为长圆三分之一而半
球为长圆体三分之二则尖圆为半球之半也又球体
径度与尖圆体底径度若等而球体半径与尖圆体高
又等则此一球体之积当四尖圆体之积也盖将尖圆
加一倍则与半球等合四尖圆则与全球等也有一球
体又一尖圆体苟尖圆体底面积与球体外面总积若
等而尖圆高度与球体半径又等则此两体之积为等
也何也将球体从外面至心分为千万尖体此所分千

万尖体之底积必与原球外面之总积等亦即与尖圆
体之底面积等也又原尖圆体之高与所分千万尖体
之高既等则一尖圆体之积与所分千万尖体总积等
也如是其所分千万尖体之总积既与原球之积等则
此尖圆体之积必与此球体之积等可知矣
凡有一球体苟以此球体之半径作一圆则所作圆之
面积于此球体外面积为四分之一也如前节之言既
为相等又作一小尖圆体其底径与原球径等其高与

原球体半径等则于原球为四分之一而于前大尖圆
体亦为四分之一也此大小两尖圆体之高度既等其
两底面积之比同于两体积之比例体积为四分之一
底面积亦为四分之一而于球体外面之积亦为四分
之一也因其为四分之一而小尖圆体之半径原与球
体半径等则以此球体半径作圆之面积亦与球体外
面积为四分之一可知矣
有一球体又一圆形苟此圆形之半径与球体径度若

等则此一圆形之面积为与一球体外面积等也盖以
球之半径作圆之半径则其面积为球四分之一若以
球之全径为圆之半径则半径所作之圆视全径所作
之圆面积又为四分之一矣何则凡圆互相之比同于
相当界所作方形互相比之比例又为每相当界互相
比之比例为加一倍之比例也兹两半径之比为大一
倍而两圆面之比又加一倍即是半径作圆为一分全
径作圆为四分既为四分则此圆面积与球体外面等

积可知矣有长圆体又一长方体苟此长方体底面积
与长圆体周围面积若等又此长方体高度与长圆体
　　　　　半径之半又等则此长方体之积为与一
　　　　　长圆体之积等也何也将长圆体从壬癸
心线至外面分为千万长体则此所分千万长体之共
　　　　积为子己长方体积之一半也盖子庚高度
　　　　与所分千万长体之壬丁高度相等又长方
　　　　体之庚己底面积与所分千万长体之底共

面积及长圆体甲丙周围面积等如前所云所分千万
长体之共积与子己长方体为一半亦如以子庚高度
分一半为戊庚而戊己长体即与所分千万长体相等
矣如是则戊己长方体积与甲丙长圆体等积可知也
有一球体一长圆体苟此长圆体之底径度高度与球
体径度若等则此球体外面之积为与长圆体周围之
面积等也
盖将球体半径乙壬分为六分用半径之半三分与戊

　　　　　　　己庚辛长圆体之面积相乘得数照
　　　　　　　前节所云为长圆体之积也又用所
　　　　　　　分六分之二为乙壬半径三分之一
与球体外面积相乘得数为球体之积也夫球体比长
圆体积为三分之二矣然用三与长圆体周围之面积
相乘者为得长圆体积用二与球体外面积相乘者为
得球体积今以球体与长圆体相比之比例同于为乘
面积用三二两数之比例如是则球体外面之积与长

圆体周围之积等可知也
　　　　　　有一平面鸭卵形其大径度与圆径若
　　　　　　等则鸭卵形之平面积与圆面积之比
　　　　　　同于以鸭卵形之小径与大径相比之
比例也何也将与戊己径线平行任分几线此每线假
如庚辛与壬癸之比同于戊己与乙丁之比而为作鸭
卵形之定理也今每平行线俱依此之比例即平行鸭
蛋形之积与圆形之积相比同于乙丁小径与戊己大

径之比例也
长方面内有平面鸭卵形正方面内有圆形苟长方之
宽与鸭蛋形小径度等长与大径度等而正方一边度
又圆径度俱与鸭蛋形大径度等则以长方面积与正
方面积之比例同于以鸭蛋形面积与圆形面积相比
　　　　　　之比例也又鸭蛋体大径与球体径度
　　　　　　若等则鸭蛋体外面积与球体外面积
　　　　　　相比之比例同于以鸭蛋体小径与大

径相比之比例也何则将两体外面俱分几平行圆此
每圆假如以子丑圆界与寅卯圆界之比同于以子丑
圆径与寅卯圆径之比也今照作鸭蛋形之定理而子
丑径与寅卯径之比同于戊己径乙丁径相比之比例
诚如是其每大圆界与相对小圆界俱依此为比例则
两外面积之相比同于两径之相比可知矣
有能函鸭蛋体之长圆体则鸭蛋体外面之全积为与
长圆体周围之积等也则试以鸭蛋体之大径作球之

径又作一函球之长圆则函球之长圆与函鸭蛋之长
圆周围面积之比同于两底圆界相比之比例亦同于
大径线与小径线相比之比例也又球体之面积与函
球体之周围面积既等则以函球体周围面积与函鸭
蛋体周圆面积之比亦同于大径与小径之比也则是
鸭蛋体面积与函鸭蛋体周围面积二项与球体面积
相比皆同于大径与小径之比则鸭蛋与函蛋体两项
面积相等可知矣

有一鸭蛋体函于一球体则两积之比同于鸭蛋体小
径线所作正方面与球体大径线所作正方面相比之
比例也
有一鸭卵体有一恰函鸭蛋体此两体积之比同于球
体积与函球体积相比之比例也
有一鸭蛋体恰函于长圆体内则鸭蛋体积为得长圆
体积三分之二也盖蛋体与函卵体之比同于球体与
函球体之比则彼为三分之二此亦三分之二也

有一长方体恰函鸭蛋体有一见方体恰函球体则长
方体积与鸭蛋体积之比同于见方体积与球体积相
比之比例也又长方体积与见方体积之比同于鸭蛋
体积与球体积相比之比例也
有一球体恰函于长圆体内若将此两体俱于寅卯处
　　　　　　　　分之此所分球体子丙丑一段之
　　　　　　　　凸面积与所分相对长圆体寅巳
　　　　　　　　庚卯一段之周围外面积为等也

何则假如于癸子丑辰小长圆体内减去壬子丑小尖
圆体此所减小尖圆体积为小长圆体积三分之一其
所馀者必是三分之二而此所分寅子丑卯曲凹体之
一段周围面积与子丑线为径作相对圆之面积等矣
如是则乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体与癸子
丑辰小长圆体此二体之底面积高度既等其体积亦
等而乙寅子丑卯丁曲凹体之积与壬子丑小尖圆之
积等矣然因何为等盖壬子丑小尖圆体所分每每圆

之面积与所分相对每每曲凸体周圆之面积等也
壬子丑小尖圆体积既为癸子丑辰小长圆体积三分
之一又此小长圆体积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一
段空心体积为相等则是乙寅子丑卯丁曲凹体之积
与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为三分之
一苟于乙子丑丁球段内减去壬子丑一小尖圆体馀
乙子壬丑丁球体一段之积与乙寅卯丁一长圆体积
为三分之二也若于乙寅卯丁长圆体内减去壬寅卯

尖圆体为此乙寅卯丁长圆体三分之一馀乙寅壬卯
丁长圆体一段之积与乙子壬丑丁球体一段之积等
也今将乙寅壬卯丁一段之体从外面至心之壬处分
为千万尖体之共底面积相乘得数为乙寅壬卯丁一
段之体积数也又以此乙子壬丑丁一段之体从外面
至心之壬处分为千万尖体若以乙壬半径为高度用
三分之一与所分千万尖体之共底面积相乘得数为
乙子壬丑丁一段之体积数也如前所云此乙寅壬卯

丁一段体积与乙子壬丑丁一段体积既等则此两体
面积亦必等而此乙丙丁半球体凸面积与乙己庚丁
半长圆体周围外面积亦等若于半长圆内减去乙寅
卯丁一段外面积于半球体内减去乙子丑丁一段外
面积此所减之乙子丑丁一段面积与彼所减之乙寅
卯丁一段面积为相等此所馀子丙丑球体一段面积
与彼所馀寅己庚卯长圆体一段面积相等可知也
有鸭蛋体一半有球体一半若全球体径度与全蛋体

大径度等而半鸭蛋体高度与半球体高度亦等则此
半蛋体外面之积与半球体外面积同于以蛋体小径
度与球体径度相比之比例也理同前
有大小半鸭蛋体有大小半长圆体若全体之小径与
全体之底径等而大小半体之高度又等则此大小半
鸭蛋体外面之积与大小半长圆体周围外面之积等
　　　　　也何则试作一鸭蛋体外函以球体又外
　　　　　函以长圆体照甲己高度截于寅丑为长

三分之一则全与全半与半之比亦若三分之一与三
分之一之比也是小半蛋体之外面积与小半球体外
面之积之比亦若函小半蛋体外面之积与函小半球
　　　　　　体长圆之外面积相比之比例而小半
　　　　　　球之外面积既与函球小半长圆之外
面积等则小半蛋体之外面积安得不与函蛋体小半
长圆之外面积等乎
有一鸭蛋体恰函于一球体内则以鸭蛋每段之积与

　　　　　　相对球体每段积之比同于以鸭蛋体
　　　　　　小径之所作正方面积与球体径度所
作正方面积之比也如图甲寅卯一段与相对球体甲
子丑一段俱与乙丁戊己大小径线平行分为几圆面
此所分蛋体每圆之面积与所分相对球体之每圆面
积之比同于以乙丁小径度所作正方面积与戊己大
径度所作正方面积相比之比例如是则以甲寅卯之
体积与甲子丑之体积之比同于乙丁径之方面积与

戊己径方面积相比之比例可知矣
　　　在一直线一边立垂线法如乙丁线欲于乙边
　　　作垂线则将规矩一股任意立于甲丁线上或
丙处为心又以一股自乙处转作一圆则于丁乙线之
甲处相交自相交丁处过丙心至相对圆界作一直线
此线于戊处与圆界合自戊处至乙处作一戊乙直线
即垂线也
分圆界为三百六十度法则照圆之辐线度分此界为

　　　六段六段分为十二段十二段各平分为三段
　　　则为三十六段三十六段各平分为五段则为
一　百八十段一百八十段又各平分为二段则成三百
六十段矣
一直线上欲作一三十度角则将甲乙线照分度圆之
　　　丙丁辐线度截于戊处又以规矩一股立于甲
　　　一股自戊处旋转作一弧线乃以规矩取圆界
之丙庚度将弧线截于己处自己至甲作一直线即为

三十度角也
　　　　有丁戊直线欲于丙处作平行线则以规立
　　　　于丙向丁戊线作弧线如甲又以规取丙甲
　　　　度立于乙向丙点平行作一弧线又照甲乙
　　　　度以规立于丙向第二次所作弧线处再作
　　　　一弧线则二线于己处相交自丙至乙作一
　　　　直线则成平行线也
如甲乙线上作一四方形则以规矩立于甲作丙乙弧

　　　　线又立于乙作甲丁弧线又于甲乙两头如
　　　　法立甲丙乙丁垂线于丙丁二处相切又作
　　　　丙丁一直线即成为四方形矣
　　　　　如乙圆之外有甲点欲于此点作切圆线
　　　　　则于甲点至圆心作一直线又以乙为心
以甲为界作甲丙弧线又自甲乙线所割丁处作丁己
垂线截外圆界于丙又自丙至乙作一直线又于丙乙
线所割戊处作甲戊线则所求之切线也

欲知圆界内等角之角度则三角形各六十度四界形
角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一
百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七
秒(度各六十分/分各六十秒)八界形角各一百三十五度九界形角
各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形
角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各
一百五十度
作函圆多界等度之各种形法则自圆心作几辐线(三/边)

(作三线四边作/四线馀仿此)
　　　　于辐线末各作切界线引至合角则成函圆
　　　　多界形也
　　　　作函多界俱等各种形圆法则照平分直线
　　　　法作垂线引二垂线相交处为心以角为界
　　　　即成函多界之圆形也
各形作内切圆亦照分直线法以交合处为心以边为
界即是也

　　　　一三角形一圆形欲于此圆外作切界三角
　　　　形与原有之三角形同式如图将乙丙底线
　　　　引长作辛壬线即成乙丙两外角即于图作
与辛乙甲等之子癸戊角作与壬丙甲等之己癸子角
　　　　于癸己子三辐线末作垂线引而合之即成
　　　　同式形也何也盖三角形之三角相并必与
　　　　两直角等今丑戊癸子四边形作戊子线分
为两形此四边形之四角相并必与四直角等就中减

戊子原作之两直角所馀癸丑两角相并亦与两直角
等也又直线上内外并必与二直角等则辛乙甲外角
甲乙丙内角并之必为两直角今戊癸子角既为效辛
乙甲所作则戊丑子角必等甲乙丙角可知矣准此而
论则丙角必等于卯角甲角必等于寅角又可知矣
　　　　　　若欲于圆内作切界同式三角形如图
　　　　　　任意作与甲角等度之辛角将角逐线
　　　　　　引至圆界作辛庚辛戊二线再自戊至

　　　庚作一直线又于戊处仿乙角作戊角引线至
　　　壬切圆界再自壬至庚作直线即成同式形何
　　　也盖戊壬庚庚辛戊两形同立于戊庚之弧而
壬辛两角同切于圆界则两角为等因其为等此辛角
原仿甲角而为比壬等于辛则亦必等于甲也又戊角
乃仿乙角而为比亦必等也二角既等则庚角之等丙
角可知矣
勾股形作容方则以直角为心勾末为界规作一象限

　　　　将弧线两平分处作直线至直角分弦线为
　　　　两于弦线分处作一勾垂线又作一股垂线
即成两直角也
有甲乙直线欲将此直线为正方对角线与正方边相
较之所馀求作一正方则以甲乙线为一边线作一小
正方作甲丙小对角线又以丙为心乙为界作一圆又
　　　　　引甲丙线至戊作甲戊为大正方一边线
　　　　　作大正方即是所求之正方也何也引甲

乙线至己为对角线乙己之线与戊己之线等盖丙乙
丙戊同为小圆之辐线则戊乙两角为等也若于丙乙
己丙戊己二直角内减去乙丙戊则所馀乙戊两角又
等也两角既等则两边亦等而甲乙为戊己相较之馀
也
有一直线将此线为底作一两边等度而两边各一角
为上一角之倍则将两头各作七十二度角两线引长
相交则上角必三十六度也若以一直线为两边等度

线则作一三十六度角两边如线之长而止又作一底
线则下两角各七十二度也
若欲以一直线为五边形之一边则如前于此线之两
　　　　　头各作七十二度之两边等形于此形外
　　　　　作切角圆形再于两长边弧线度各平分
之则成五边形也何则丙乙弧之界角为三十六度若
为心角则七十二度则丙乙弧乃得圆分之七十二度
于圆分为五分之一也则于甲丙弧及甲乙弧各两分

之合成五分故为五边形也
理分中末线将全线求大小分则将全线为一边线作
　　　　　一两边等度两底角与上一角各大一倍
　　　　　之三角形又作五边形乃自甲至乙作直
　　　线截于丙处则丁戊为全丁丙为大分戊丙为
　　　小分得相连比例也盖丁甲乙戊两弧线度等
　　　则甲戊丁乙甲戊两角度必等又戊甲乙角与
戊丁乙角共立于乙戊弧则角度亦等也再甲戊乙与

戊甲丁两角本相等若以等角内减去甲丙戊形则所
馀丁甲乙丁戊乙两角必等矣然则丁戊乙角原系与
乙丁戊角为大一倍作者则丁戊乙角比甲戊丙戊甲
丙两角为等矣其丁丙甲角因为甲丙戊之一外角与
　　　　　丙甲戊丙戊甲两内角为等而丁丙甲与
　　　　　丁甲丙两角为等矣因其等则丁甲丁丙
　　　　　两线为等也又丁甲甲戊两线原等其甲
　　　　　丁戊角必与甲乙丁角等而丁戊甲甲戊

丙大小两三角形内小三角形之丙甲戊角与大三角
形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角与丁戊甲之戊
　　角原系共角亦必等因大小两三角形既等是为
　　同式则以戊丁线与甲丁线相比之比同于以戊
　　甲线与丙戊线相比之比例而丁甲与丁丙等戊
甲与丁甲等亦与丁丙等则以丁戊全线与大分丁丙
相比之比同于丁丙大分与丙戊小分相比之比例为
相连比例也

　　　欲平分甲乙一直线为数段则于甲乙末各作
　　　一直线如丙丁将丙丁各为平分作线割甲乙
线则甲乙线亦为平分也于是甲乙线与乙壬线之比
同于甲丁线与丁己线相比之比例矣
　　　　　　又如有甲乙线于己辛两处分为三分
　　　　　　又有丙丁一线亦欲分为三分为相比
　　　　　　例三率则以甲乙线丙丁线为平行线
　　　　　　自甲乙之末各分直线切丙丁线末至

戊相会又自辛己两处各作两线亦合于戊则丙丁线
即分为三分而为甲乙线之相比例三率矣
有直线二率作与此相连比例三率线法如有八分
　　　　　　　甲乙四分甲丙之二线求作一二分
　　　　　　　之相连线则将甲丙甲乙二线合成
　　　　　　　甲角又于乙末增甲丙线度为甲戊
　　　　　　　线自乙至丙作一直线又于戊作乙
丙之平行线如戊己将甲丙线引至己处则所引丙己

线度即为二分之分而为甲乙甲丙相连比例第三率
也(甲乙甲丙乙戊丙己为比例四率乙戊同甲丙除去/不用则甲乙与甲丙之比同于甲丙与丙己之比也)
　　　　　　有直线三率欲作相比例第四率线再
　　　　　　为相比例数率线则照样作甲丙线而
　　　　　　以甲乙线度截于乙处乃用规矩以甲
　　　　　　为心以乙为界作一弧线而取乙丁线
　　　　　　度一股立于乙一股交于弧线得相交
　　　　　　之丁处遂作乙丁线又作甲戊线切丁

末如甲丙度长又作与乙丁平行之戊丙线其戊丙线
即为第四率也盖甲丙全与甲乙段之比同于丁乙平
行线与戊丙底之比比例同也若欲作相比例数率则
　　　　　　将甲戊甲丙线引长如癸子中作平行
　　　　　　数线分为五段即得十相比例率也故
　　　　　　以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙
　　　　　　之比例甲丙与甲己之比同于戊丙与
　　　　　　庚己之比例甲己与甲辛之比同于庚

己与壬辛之比例甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸
之比例也
比例尺二股各有平分线分为二百馀分假如有丁戊
　一线欲分为十分则以规矩取丁戊线度立于尺各
　二百分之乙丙二点将尺乙丙二处照丁戊线度开
　　　　之使不移动次以规矩立于尺之第二十分
　　　　之己庚二点取己庚之间度此间度即是平
　　　　分丁戊线为十分之度也何也如甲乙丙三

角形为己庚平行线所截则甲己与甲乙之比同于己
庚与乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分为十分之
一乙丙十分己庚一分亦为十分之一也
于比例尺作圆之诸弦线之总线法则自甲之合处至
乙丙二末作二线于甲乙之丁处为心以甲乙两末为
界作半圆而分半圆界为百八十度自甲处至所分圆
界各作弦线而立规矩一股于甲处又以一股于戊二
十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十

度子百四十度丑百六十度等处取弦线度各作于甲
　　　　　乙甲丙两线上即为诸弦线度之总线也
　　　　　其取用之法若欲知寅角之度则以规矩
　　　　　一股立寅处一股任意作卯辰弧线随取
　　　　　寅卯辐线之度立于尺之六十度之丁未
　　　　　处将尺之丁未照辐线度开之勿动乃将
规矩取卯辰弧线之度放于尺两股所容中间何处恰
好若恰容在八十度之申酉处则是现原有寅角八十

度之弦线也何则若作丁未申酉二直线则甲申酉之
三角形为平行之丁未线所截则甲丁与甲酉之比同
于丁未与申酉之比也然则甲丁为六十度弦线甲酉
为八十度弦线其与底平行之丁未线既与小圆辐线
等所以丁未线为小圆六十度之弦线申酉线亦为小
圆八十度之弦线以此知寅角卯辰度之为八十度也
如此凡大小圆之辐线度安于尺之六十度处照此开
之其大小圆之诸弦线之度俱现于两股间也(以六十/度通弦)

(即半/径故)
　　　　于比例作分平面线法自甲之合处至乙丙
　　　　二末作直线截甲丙线于丁处照甲丁度于
　　　　甲末作甲戊垂线自戊处至所截丁处作戊
　　　　丁线照戊丁线度将甲丙线截于己处自戊
　　　　至己作戊己线又照戊己线度将甲丙线截
　　　　于庚处自戊至庚作戊庚线照此不止作至
丙末又将甲乙线亦照甲丙所截截之即成分平面线

也何则于甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲
丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊两方者
也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方
为大一倍甲庚方大甲丁方为二倍也由是推之甲庚
方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此则甲
辛甲壬等界上方俱是大于甲丁界上方三倍四倍可
知也苟有一癸子平面四方形欲大于此形二倍之四
方形则以规矩取癸子界度立于丁处将尺照此度开

之勿动次将规矩取尺庚寅处度作方即大于癸子方
二倍也盖于丁丑庚寅作二线而甲庚寅之三角为丑
丁平行线所分则以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲
庚既大于甲丁二倍则寅庚亦大于丑丁二倍矣
有二直线欲以此二线作中比例线法则将二直线相
连为圆径以平分处为心以两末为界作圆形然后于
二线连接处作垂线切圆界则为中比例线也
有二直线作中二率比例线如图将二线合为直角又

　　　　　　引作十字线如丁与丙取矩尺庚癸二
　　　　　　角正跨两引线上使矩尺壬辛股二处
　　　　　　正切于甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊
　　　　　　三线其所现乙癸乙庚则为中二率线
也盖以戊癸之丑为心戊末为界作半圆以甲庚之寅
　　　　　　为心甲末为界作半圆则乙癸线者甲
　　　　　　庚半圆径上之垂线为甲乙乙庚之中
　　　　　　率也乙庚线者戊癸半圆径上之垂线

为乙戊乙癸之中率也则以甲乙线比乙癸线同于以
乙癸线比乙庚线也以乙癸线比乙庚线同于以乙庚
线比乙戊线也故曰中二率也
于比例尺作分体线法则于甲之合处至二股之乙丙
二末作甲乙甲丙二线以规矩取丁己方体之戊己界
　　　　度立于甲而截于甲乙线之庚处次作大于
　　　　戊己界一倍之辛壬线依前法求得中二率
　　　　为癸子丑寅二线将癸子界作见方体则此

体大于丁己见方体一倍也盖四线为相连比例率而
戊己与辛壬为加二倍之比例则丁己卯子二体为同
式而以戊己癸子各一界相比之比例为加二倍之比
例也戊己辛壬二线之比因同于丁己卯子二体之比
例若辛壬第四线大于戊己一倍则卯子体亦大于丁
己体一倍矣次将规矩取癸子界度一股立于甲一股
照此度截于甲乙线之辰处则此度所作方体大于原
丁己体一倍矣再作比原丁己体之戊己界长二倍之

　　　　己未线照前求中二率之申酉戌亥二线将
　　　　申酉第二率线度取于规矩一股立于甲一
　　　　股截甲乙线之乾处则甲乾界度所作方体
　　　　比原丁己体为二倍可知也照此不止作大
　　　　于丁己体之戊己界或三四倍或五六倍之
长线如前求得中二率将所求第二率度截于尺线上
即成比例尺之分体线也若有一坎庚见方体欲作一
大于此二倍之体则以规矩取坎庚体之艮庚界度将

比例尺之所截庚处照此开之勿动次将比例尺第三
所截乾处之开度取于规矩即是大于坎庚体二倍之
形界盖甲庚线与甲乾线之比同于以庚庚与乾乾线
之比例甲乾上方大于甲庚上方二倍则乾乾上方必
大于庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之
界度长一百釐则以此界一百釐自乘再乘则此体积
共乙百万釐大此一倍之体数为二百万釐其二百万
釐体之一面界度为一百二十五釐又大二倍之体数

为三百万釐其三百万釐体之一面界度为一百四十
四釐如此累加将外界之釐数书明又将釐度分于尺
寸欲书入比例尺则将所书之数以规矩取所分之度
初照一百釐界度截比例尺之庚处次照一百二十五
釐界度截于辰处三照一百四十四釐界度截于乾处
不止至末与前法所分俱为同也
有一直角四界形作为与此等积之正方形如图将甲
乙乙丙合为一直线求得中率之丁乙线作丁戊正方

　　　　形为与甲丙等积也盖相连比例三率其中
　　　　率自乘之积与首率末率相乘之积等故丁
　　　　己上方与甲乙乘乙丙之方等积也
　　　　凡有三角形知其一角之度及角两旁之界
度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知
角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角为三十七
度角两旁丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈则作与
丙角为等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作为十四

分长丁己界作为十三分长自戊至己作直线相会与
甲乙丙大形同式将戊角之度取于规矩安于分度圆
界看容多少便知戊角度若干若容七十度则大形甲
角之度亦为七十度矣又小形己角可知为七十三度
则大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九
分可知大形甲乙界之为九丈矣馀皆如此盖即小以
知大举一以例馀也
作不用比算测高深广远各种三角形之仪器法先作

甲乙丙半圆界分为百八十度将此半圆之丁甲丁乙
丁丙三半径线每每分为一百分各作直线纵横相交
　　　　　　会如棋局再于径线之两末作两立表
　　　　　　安住不动又于丁心处如图作一游表
　　　　　　如戊己将游表亦如半径度分为二百
　　　　　　分再于此仪器后面挂一坠线为庚即
　　　　　　可按线而测矣如欲测旗杆之高则将
　　　　　　仪器之丁心安于所立之处定准坠线

以甲乙径线两末之立表与旗杆癸处对准为地平稳
住不动再将戊己游表与旗杆尖之辛处相对准次量
所立之丁处至旗杆癸处得若干若得四十丈则看仪
器地平线上自丁心起用四十分当四十丈如子再看
子处垂线与上游表相交处得若干若得三十分如丑
则旗杆之高为三十丈也若欲测丁辛弦线数则看自
丁至丑相交处得若干分若得五十分则相当数为五
十丈也若欲测丁癸辛三角形之各角度则癸角既为

直角再看圆界自乙至游表相交处得若干度为丁角
度与九十度相减所馀者为辛角度也
画地图者选戊己两处可以尽见诸形先于戊处立仪
器指诸要𦂳数处看所成之数角各得几何度记之次
移仪器到己处将不动表与己对准为地平亦指于诸
要𦂳数处看所成之数角亦各几何度亦记之然后取
一幅纸任意作一线为戊己相当线将前所测角度仿
而作之一　一与前相当成数三角形其中边所有之形

一一画上即成图也若将大图蹲入小图则将大图分
为数正方形小图亦分为数正方形与大图相当将大
　　　　图中某方形内所函之山河城渠村林依蹲
　　　　而入于小图即与原大图同也　凡有多界
　　　　形仿此或为大或为小之同式形方如甲乙
　　　　丙丁一无法形欲减各界之半作同式形则
　　　　任意自一壬处作诸对角线又任意将甲乙
　　　　界之度取其半为甲乙平行线作于甲壬乙

壬二线之间恰容癸子处照此于对角线间作诸界之平
行线则所成癸子卯己之形即是原有形每界减一半
之同式小形也苟欲作大于原有之形则将对角线任
意引长而照前任意加为界度与原界作平行线即成
所欲作之大形也或自一角发线亦可
凡两数相乘者平行方数也如二三相乘为六是也三
数连乘者立方数也如二三乘得六又乘以四则为四
六二十四也(以上为几/何原本)

凡一与三之比同于四与十二之比一与五之比同于
十二与六十之比二之比三亦犹四之比六也六之比
九也盖凡可以倍计者皆可为比例二其二而为四二
其三而为六三其二而为六三其三而为九故三与九
之比同于六与三十六之比(按末句/有误数)
凡可以度尽大数之众小数相合于此加数根之一所
得之总数与所度之大数等也如大数有六可以小数
二三度尽若加数根一则亦六也

大数二十八可以小数二四七十四度尽若将二四七
十四与数根之一并之则亦二十八也
有一比例数求与此比例相等之相连比例数法如三
与五之比例求与此比例相等之相连比例几将三自
因得九又三与五因得十五又五自因得二十五则此
九与十五及二十五之三数为三与五比例相等之相
连比例三数也三与五之比同于九与十五之比例九
与十五之比同于十五与二十五之比为相连比例也

又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五与
七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十
七四十五七十五一百二十五之四数为三与五比例
相等之相连比例四数同于三与五之比例也
凡一数除众数所除得数之比同于原众数之比也如
以三归十二而得四以三归十五而得五则四与五之比
若十二与十五之比也而四与十二之比同于五与十
五之比也

有同相比例四数其首末相乘所得数与中两数相乘
之得数等也有相等两方数则此纵与彼纵之比同于
以彼横与此横之比也如四六相乘与三八相乘皆为
二十四则以此之六比彼之八以彼之三比此之四比
例为等也
凡以两数除一数而尽此得之两数相比若所用以归
除两数之比也如四除三十六而得九六除三十六而
得六则九六两数之比若六四之比也

凡有平加众数此众数内之凡一数若作为原数将此
数以上有几位平加几次相差之数与首数并之得数
为与原数等也如上所列之数若将十五作原数此十
五以上有四位而众数原平加之数系三若将三之四
次数而与首数三相并得十五与所作原数之数等也
由此推之若于平加众数内凡减一位将所馀之位数
与原平加之数相乘得数与众小数内至小数相并与
众数内至大数为等也假如上六数内减一数馀五数

将此五与平加之三相因得十五与至小数三相并得
　(三六九二五八/ 一一一)　十八为与至大数相等矣
凡平加众数若将此数内之两数相并所得数与两傍
相等隔位之他两数相并得数等也如十二与九为廿
一十五与六亦廿一十八与三亦廿一也盖升愈升降
愈降合降与升则但见平也
又将此内凡一数之两傍数相加折半即与中间数等
也如十五加九为廿四折半斯得十二矣十二加六为

十八折半斯得九矣十八加十二为三十折半斯得十
五矣其理则前节可推也
又此平加众数若将首末两数相加以所有几位之位
数相乘得数折半则与原有众数之总数等也如十八
加三为廿一以位数六乘之得乙百二十六折半得六
十三与众数之总数等也盖照前节推六数相加合成
三十三今以六乘故必折半也若五位或七位之奇数
理亦相同

凡平加之位若是奇数则以中一位之数与位数几相
乘即得众数之总数也如所列以中一位一○乘位数
五得五十即为众数之总数也盖首尾相加乘位数折
半而得总数今中位乃首尾相加之一半故以乘位数
　(四七○三六/ 一一一)总数(○/五)　即为总数也
凡有自一每位平加二比例众奇数之总与位数自乘
之得数等也如所列总数得四十九以位数七七自乘
亦四十九也若一三五七九五位总数二十五以位数

五自乘亦二十五也理如前节以中一位数乘位数同
盖七位则七为中五位则五为中故也亦如首乘相并
　(一三五七九一三/ 一一)　折半乘位数之理也
凡有自二每位平加二之比例众偶数以位数加一以
与位数相乘即与众数之总数等也如所列位数是七
加一为八以与位数七相乘为五十六即总数之数也
亦即首末相加折半乘中一位之理也若位数是偶则
　(二四六八○二四/ 一一一)　以位数自乘可得众数之总数也

凡平加比例之众数如所列以小数一与大数十一相
减馀十以平加数根二除之得五再加入小数一得六
　(一三五七九一/ 一)　即原有之位数也
凡平加比例知小数及位数与平加数根而求大数法
如所列知小数三知位数六知平加数根四将位数六
减一馀五与平加数四相因得二十加十入小数三即
大数为廿三也
若欲知小数则亦以位数六减一馀五与平加数四相

因得二十以与大数十三相减馀三则此三即为至小
数也
若知小数及位数及平加数根而求知总数则先察得
大数为二十三加入小数三为二十六以与位数六相
乘得一百五十六折半得七十八为所求之总数也
若知大数及平加数根及位数而求知总数法亦如之
若知大小两数及位数求平加数根法则将三与廿三
相减馀二十又将位数六减一为五除之得四则此四

为平加数之根也
若知大小两数及平加数根而求位数法则将大数与
小数相减馀二十以平加数四除之得五加一为六即
是所求之位数也
若知平加之数根与位数及众位之总数而求至大至
小之两数法则将总数七十八以位数六除之得十三
为首末两数相加之一半又将十三加倍作廿六为首
末两数相加之总数乃将位数六减一馀五与平加数

根四相乘得二十为至大数又将前所得之二十六与
此二十相减馀六为小数之加一倍数此数折半为三
是所求之至小数也将三加入二十得二十三为所求
之至大数也此法之理备于前矣
凡不等两数求一数可以度尽之法如二十与廿四相
减馀四又将四与二十相减馀十六以十六与四相减
馀八以四减八则无馀则此四为度尽两数之数也谓
之转减亦谓之纽数

三边无角不可以相比例则必先求中长线以为正弦
然后角可求也然中长线之数为正弦而仅有半径无
角无馀弦则其数又不可知故以勾弦求股之术求之
除一边为弦则总较之术所求者勾也盖两弦之总之
较既具于上两边矣所求者欲破下边以为两勾而得
其较耳两弦之总乘弦之较以两勾之总除之必得较
矣(钝角则以较/除而得总)以勾较之馀取其半以益较必得大勾
矣存其半必得小勾矣如此则中长线之数可明而勾

股弦相求之术可施既得勾股之数则用以与半径正
馀弦相比例而角可得矣
一角有角无对边数两边有边无对角数则皆不可以
互求矣然此两边所对之角乃与得角合成半周度是
此角之外之弧度即两角之度也但未知两角之大小
何如剖分耳惟外角有平行之对角与两角之一角等
度则虽其数未可知而其形可剖欲知其数者必以两
角之较求之欲知两角之较者又必以两边之较例之

两边有总有较半外角又有切线则可因是以求半较
角矣以半较角减半外角则小边对角之度得矣其馀
一角则可以三隅反矣
三较连乘者求三角容圆之半径也○三较者三边与
半总相较之馀也三较连乘所得之数乃容员半径自
乘又乘半总之数也故以三较连乘为中率而以半总
除之则得容员半径之积数矣以积数开方则得半径
矣○两数所以相合者何也盖引伸三较于一边则半

总也从两边之角直剖为长线于第一较处横断作小
勾即容员半径也至末总断作大勾而以容员半径乘
之即二较三较相乘之数也小勾自乘比乘大勾如第
一较与半总之比例则二较相乘以小勾自乘乘之亦
如第一较与半总之比例
(阙/)
钱百文买果百颗　梨一颗钱三文　柑一颗钱二文
橄榄七颗钱一文　算得梨四颗钱十二文　柑四十

颗钱八十文　橄榄五十六颗钱八文(按此条前后/皆有阙文)
　
　
　
　
　
　
　

　
　
　
　
　
　
　
　庄氏算学卷二